Exerćıcio 8: Mostre que I = ∫ C (1 + 2xy + ln x) dx + x2 dy é independente do caminho e calcule o valor de I onde C é dada por γ(t) = (1 + cos t...

Para mostrar que a integral de linha I é independente do caminho, podemos utilizar o Teorema de Green. Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de P e Q em relação a x e y, respectivamente: ∂P/∂y = 2x ∂Q/∂x = 2x Como ∂P/∂y = ∂Q/∂x, podemos afirmar que ~F(x, y) = (P, Q) é um campo vetorial conservativo. Agora, vamos calcular a integral de linha I ao longo da curva C, dada por γ(t) = (1 + cos t, sen t), com -π/2 ≤ t ≤ π/2: I = ∫C (1 + 2xy + ln x) dx + x^2 dy Aplicando o Teorema de Green, temos: I = ∬D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA Onde D é a região delimitada pela curva C. Como o campo vetorial ~F(x, y) é conservativo, temos que ∂Q/∂x - ∂P/∂y = 0. Portanto, a integral de linha I é igual a zero, independentemente do caminho escolhido. Assim, o valor de I é zero.