4. Seja a região R delimitada entre y = x e y = x3/2 quando x varia de x = 0 até x = 1. Encontre o volume do sólido de revolução ao girar R em...

Para encontrar o volume do sólido de revolução ao girar a região R em torno do eixo y, podemos utilizar o método dos discos ou o método das cascas cilíndricas. Método dos discos: 1. Primeiro, vamos encontrar a função que representa a curva de interseção entre y = x e y = x^(3/2). Igualando as duas equações, temos x = x^(3/2). 2. Para encontrar os limites de integração, vamos verificar os pontos de interseção entre as curvas. Substituindo x = x^(3/2) na equação y = x, temos y = x^(3/2)^(3/2) = x^(9/4). Portanto, os pontos de interseção são (0, 0) e (1, 1). 3. Agora, vamos calcular a área de cada disco infinitesimal. A área de um disco é dada por A = π * r^2, onde r é o raio do disco. Nesse caso, o raio é dado por r = y. 4. Integrando a área dos discos de y = 0 até y = 1, temos o volume do sólido de revolução. Método das cascas cilíndricas: 1. Vamos considerar um elemento infinitesimal de altura dy no eixo y. A circunferência desse elemento é dada por C = 2π * x, onde x é a distância do eixo y até a curva y = x^(3/2). 2. O volume de cada casca cilíndrica é dado por V = C * dy = 2π * x * dy. 3. Integrando o volume das cascas cilíndricas de y = 0 até y = 1, temos o volume do sólido de revolução. Espero que isso possa te ajudar a resolver o problema!