Encontre o volume do sólido de revolução obtido girando-se a região entre a curva y = 1/(x^2 + 3x + 2) e o eixo dos x, contida na faixa 0 ≤ x ≤...

Para encontrar o volume do sólido de revolução, podemos utilizar o método dos discos ou o método das cascas. Neste caso, como estamos girando a região em torno do eixo dos y, utilizaremos o método das cascas. O raio de cada casca é dado pela distância entre a curva e o eixo dos y, ou seja, r = y. O comprimento de cada casca é dado pela circunferência resultante da rotação da casca, ou seja, L = 2πx. Assim, o volume total do sólido é dado por: V = ∫[0,1] 2πxy dx Para encontrar y em função de x, podemos utilizar frações parciais: 1/(x^2 + 3x + 2) = 1/[(x+1)(x+2)] = A/(x+1) + B/(x+2) Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x+2), temos: 1 = A(x+2) + B(x+1) Substituindo x = -1, obtemos A = -1/3. Substituindo x = -2, obtemos B = 1/3. Assim, temos: 1/(x^2 + 3x + 2) = -1/3/(x+1) + 1/3/(x+2) Substituindo na integral, temos: V = ∫[0,1] 2πx(-1/3/(x+1) + 1/3/(x+2)) dx V = 2π/3 ∫[0,1] [(x+2) - (x+1)] dx V = 2π/3 ∫[0,1] (1) dx V = 2π/3 Portanto, a alternativa correta é a letra c) π/4.