Exerćıcio 8: Determine uma função potencial para cada campo conservativo. a) −→ F (x, y) = (x2 + y2)−→ i + 2xy −→ j . b) −→ F (x, y) = (cos(xy) ...

Para determinar uma função potencial para um campo conservativo, precisamos verificar se as derivadas parciais das componentes do campo em relação às variáveis ​​são iguais. Vamos analisar cada alternativa: a) −→ F (x, y) = (x^2 + y^2)−→ i + 2xy −→ j Para encontrar a função potencial, integramos cada componente em relação à variável correspondente: ∫(x^2 + y^2) dx = (1/3)x^3 + C1(y) ∫2xy dy = x^2y + C2(x) Portanto, uma possível função potencial para o campo a) é: Φ(x, y) = (1/3)x^3 + C1(y) + x^2y + C2(x) b) −→ F (x, y) = (cos(xy) − xy sen(xy))−→i − (x^2 sen(xy))−→j Da mesma forma, integramos cada componente em relação às variáveis: ∫(cos(xy) − xy sen(xy)) dx = ∫cos(xy) dx - ∫xy sen(xy) dx = sen(xy) - (1/2)sen^2(xy) + C1(y) ∫-(x^2 sen(xy)) dy = -x^2(1/2)sen^2(xy) + C2(x) Portanto, uma possível função potencial para o campo b) é: Φ(x, y) = sen(xy) - (1/2)sen^2(xy) + C1(y) - x^2(1/2)sen^2(xy) + C2(x) c) −→ F (x, y, z) = (6xy^3 + 2z^2)−→i + (9x^2y^2)−→j + (4xz + 1)−→k Neste caso, temos três componentes e três variáveis. Para cada componente, integramos em relação à variável correspondente: ∫(6xy^3 + 2z^2) dx = 3x^2y^3 + 2xz^2 + C1(y, z) ∫(9x^2y^2) dy = 3x^2y^3 + C2(x, z) ∫(4xz + 1) dz = 2xz^2 + z + C3(x, y) Portanto, uma possível função potencial para o campo c) é: Φ(x, y, z) = 3x^2y^3 + 2xz^2 + C1(y, z) + 3x^2y^3 + C2(x, z) + 2xz^2 + z + C3(x, y) Lembrando que as constantes de integração (C1, C2, C3) podem variar.