Exerćıcio 4: ABCD é um paralelogramo no qual AB = 2 BC e M é o ponto médio do lado CD. Mostre que o triângulo AMB é retângulo.

Para mostrar que o triângulo AMB é retângulo, podemos utilizar a propriedade dos paralelogramos e a propriedade dos pontos médios. Sabemos que ABCD é um paralelogramo, o que implica que os lados opostos são paralelos e congruentes. Portanto, AB é paralelo e congruente a CD. Também sabemos que M é o ponto médio do lado CD. Isso significa que CM é congruente a MD e que CM é igual a MD. Agora, vamos considerar o triângulo AMB. Temos que AM é congruente a MB, pois são lados opostos de um paralelogramo. Além disso, temos que CM é congruente a MD, pois M é o ponto médio de CD. Agora, podemos aplicar o teorema de Pitágoras para mostrar que o triângulo AMB é retângulo. Pelo teorema de Pitágoras, em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Neste caso, AM é o cateto, MB é o cateto e AB é a hipotenusa. Temos que AM^2 + MB^2 = AB^2. Como AM é congruente a MB, podemos substituir AM por MB. Temos então que MB^2 + MB^2 = AB^2. Simplificando, temos que 2MB^2 = AB^2. Agora, substituindo AB por 2BC (conforme a informação dada no enunciado), temos: 2MB^2 = (2BC)^2. Simplificando, temos que 2MB^2 = 4BC^2. Dividindo ambos os lados por 2, temos que MB^2 = 2BC^2. Agora, podemos concluir que o triângulo AMB é retângulo, pois a soma dos quadrados dos catetos (MB^2 + MB^2) é igual ao quadrado da hipotenusa (AB^2). Portanto, o triângulo AMB é retângulo.