Encontre dois números não negativos cuja soma é 30 e tal que o produto de um dos números e o quadrado do outro é máximo.

Para encontrar dois números não negativos cuja soma seja 30 e o produto de um dos números pelo quadrado do outro seja máximo, podemos usar um pouco de matemática. Vamos chamar um dos números de x e o outro de 30 - x (pois a soma deles é 30). Agora, queremos maximizar o produto de x pelo quadrado de (30 - x). Podemos escrever essa expressão como P(x) = x(30 - x)². Para encontrar o valor máximo de P(x), podemos derivar essa expressão em relação a x e igualar a zero. Vamos fazer isso: P'(x) = (30 - x)² - 2x(30 - x) = (30 - x)(30 - x) - 2x(30 - x) = (30 - x)² - 2x(30 - x) = 900 - 60x - x² - 60x + 2x² = 900 - 120x + x² Agora, igualamos a derivada a zero: 900 - 120x + x² = 0 Podemos resolver essa equação quadrática para encontrar o valor de x que maximiza o produto. Resolvendo essa equação, encontramos x = 15. Portanto, os dois números não negativos cuja soma é 30 e o produto de um pelo quadrado do outro é máximo são 15 e 15.