Mostre que, se f : [a, b] −→ R é uma função cont́ınua, positiva e m e M são, respectivamente, seus valores ḿınimo e máximo em [a, b], então ...

Para mostrar que a desigualdade m(b - a) ≤ ∫[a, b] f(x) dx ≤ M(b - a) é verdadeira, podemos usar o Teorema do Valor Extremo para funções contínuas em um intervalo fechado. Primeiro, sabemos que f(x) é contínua em [a, b], o que implica que f(x) é limitada nesse intervalo. Portanto, existem valores m e M que são, respectivamente, o valor mínimo e máximo de f(x) em [a, b]. Agora, vamos considerar a integral definida ∫[a, b] f(x) dx. Como f(x) é positiva em [a, b], podemos afirmar que m ≤ f(x) ≤ M para todo x em [a, b]. Multiplicando essa desigualdade por (b - a), temos m(b - a) ≤ f(x)(b - a) ≤ M(b - a) para todo x em [a, b]. Agora, vamos integrar essa desigualdade em relação a x no intervalo [a, b]: ∫[a, b] m(b - a) dx ≤ ∫[a, b] f(x)(b - a) dx ≤ ∫[a, b] M(b - a) dx Simplificando, temos: m(b - a) ∫[a, b] dx ≤ ∫[a, b] f(x)(b - a) dx ≤ M(b - a) ∫[a, b] dx O integral de dx no intervalo [a, b] é igual a (b - a), então temos: m(b - a) ≤ ∫[a, b] f(x)(b - a) dx ≤ M(b - a) Portanto, concluímos que m(b - a) ≤ ∫[a, b] f(x) dx ≤ M(b - a), como queríamos demonstrar.