Calculo o trabalho realizado pelo campo de força F(x,y,z) = ( xx + z2 , yy + x2 , zz + y2 ) quando uma partícula se move sob sua influência ao redo...

Para calcular o trabalho realizado pelo campo de força F(x,y,z) = ( xx + z2 , yy + x2 , zz + y2 ) quando uma partícula se move sob sua influência ao redor da borda da esfera x2 + y2 + z2 = 4 que está no primeiro octante, na direção anti-horária quando vista por cima, podemos utilizar o Teorema de Stokes. Primeiro, precisamos encontrar o rotacional do campo de força F: rot(F) = (2z, 2x, 2y) Em seguida, podemos calcular o trabalho utilizando a fórmula: W = ∮(F . dr) = ∬(rot(F) . dS) Onde a integral dupla é realizada sobre a superfície da esfera x2 + y2 + z2 = 4 no primeiro octante, na direção anti-horária quando vista por cima. Podemos utilizar coordenadas esféricas para parametrizar a superfície da esfera: x = 2sinθcosφ y = 2sinθsinφ z = 2cosθ Onde 0 ≤ θ ≤ π/2 e 0 ≤ φ ≤ π/2. Então, podemos calcular o vetor normal à superfície: dS = (2sinθcosφ, 2sinθsinφ, 2cosθ) dθ dφ E o produto escalar entre o rotacional do campo de força e o vetor normal: rot(F) . dS = 8sinθcosθ dθ dφ Integrando em relação a φ de 0 a π/2 e em relação a θ de 0 a π/2, temos: W = ∬(rot(F) . dS) = ∫₀^(π/2) ∫₀^(π/2) 8sinθcosθ dθ dφ = 2 Portanto, o trabalho realizado pelo campo de força F é igual a 2. A alternativa correta é a letra E).