5. Seja D a região limitada por um caminho fechado simples C no plano xy. Utilize o Teorema de Green para mostrar que as coordenadas do centróide...

Para resolver esse problema, podemos utilizar o Teorema de Green. O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. No caso do problema apresentado, queremos encontrar as coordenadas do centroide da região D. Para isso, podemos utilizar as fórmulas fornecidas: x = (1/2A) ∮ x^2dy y = (-1/2A) ∮ y^2dx Onde A é a área da região D. Para aplicar o Teorema de Green, precisamos parametrizar a curva C que limita a região D. A partir dessa parametrização, podemos calcular as derivadas dx e dy em relação ao parâmetro. Em seguida, substituímos essas derivadas nas fórmulas acima e integramos ao longo da curva C. O resultado será as coordenadas do centroide da região D. Lembrando que o Teorema de Green é uma ferramenta poderosa para relacionar integrais de linha e integrais duplas, e é amplamente utilizado em cálculo vetorial.