Use o Teorema de Green para achar o trabalho realizado pela força F (x, y) = x(x+y)i + xy^2j ao mover uma partícula da origem ao longo do eixo x pa...

Para resolver esse problema, podemos aplicar o Teorema de Green. O teorema estabelece que o trabalho realizado por uma força ao longo de uma curva fechada é igual à integral dupla do rotacional dessa força sobre a região delimitada pela curva. Primeiro, vamos calcular o rotacional da força F(x, y) = x(x+y)i + xy^2j. O rotacional de um campo vetorial F = P(x, y)i + Q(x, y)j é dado por: rot(F) = (dQ/dx - dP/dy)k Calculando as derivadas parciais, temos: dP/dy = 1 dQ/dx = x + 2xy Portanto, o rotacional de F é: rot(F) = (x + 2xy - 1)k Agora, vamos calcular o trabalho realizado pela força ao longo da curva descrita. A curva é composta por três segmentos: da origem ao longo do eixo x até (1, 0), em seguida ao longo de um segmento de reta até (0, 1), e, por fim, de volta à origem ao longo do eixo y. Vamos calcular o trabalho em cada um desses segmentos separadamente e, em seguida, somá-los. 1) Ao longo do eixo x até (1, 0): Nesse segmento, o vetor deslocamento é dado por dS = dx i. Portanto, o trabalho realizado é: W1 = ∫F · dS = ∫(x(x+y)i + xy^2j) · (dx i) = ∫x(x+y) dx Integrando em relação a x, temos: W1 = ∫x(x+y) dx = ∫(x^2 + xy) dx = (1/3)x^3 + (1/2)xy^2 Avaliando de 0 a 1, temos: W1 = (1/3)(1^3) + (1/2)(1)(0^2) - (1/3)(0^3) - (1/2)(0)(0^2) = 1/3 2) Ao longo do segmento de reta até (0, 1): Nesse segmento, o vetor deslocamento é dado por dS = dy j. Portanto, o trabalho realizado é: W2 = ∫F · dS = ∫(x(x+y)i + xy^2j) · (dy j) = ∫xy^2 dy Integrando em relação a y, temos: W2 = ∫xy^2 dy = (1/2)xy^3 Avaliando de 0 a 1, temos: W2 = (1/2)(0)(1^3) - (1/2)(0)(0^3) = 0 3) De volta à origem ao longo do eixo y: Nesse segmento, o vetor deslocamento é dado por dS = -dy j. Portanto, o trabalho realizado é: W3 = ∫F · dS = ∫(x(x+y)i + xy^2j) · (-dy j) = -∫xy^2 dy Integrando em relação a y, temos: W3 = -∫xy^2 dy = -(1/2)xy^3 Avaliando de 0 a 1, temos: W3 = -(1/2)(1)(1^3) + (1/2)(0)(0^3) = -1/2 Agora, somando os trabalhos realizados em cada segmento, temos: Trabalho total = W1 + W2 + W3 = 1/3 + 0 - 1/2 = -1/6 Portanto, o trabalho realizado pela força F ao mover uma partícula da origem ao longo do eixo x para (1, 0), em seguida ao longo de um segmento de reta até (0, 1), e, então, de volta à origem ao longo do eixo y é igual a -1/6.