4) (EXAME) Resolvendo a equação diferencial y"-14y+49y=0, quando y(0)=1 e y'(0)=2 obtemos: a) y=e7x+xex7x b) y= c) y=e7x d) y=e7x+3xe7x e) y=ex-5xex

Para resolver a equação diferencial y" - 14y + 49y = 0, podemos usar o método de resolução de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Primeiro, encontramos a equação característica associada à equação diferencial, substituindo y = e^(rx) na equação: r^2 - 14r + 49 = 0 Em seguida, resolvemos essa equação quadrática para encontrar os valores de r: (r - 7)^2 = 0 r - 7 = 0 r = 7 (raiz dupla) Portanto, a solução geral da equação diferencial é dada por: y(x) = C1 * e^(7x) + C2 * x * e^(7x) Agora, podemos usar as condições iniciais y(0) = 1 e y'(0) = 2 para encontrar os valores das constantes C1 e C2. Substituindo x = 0, y = 1 na equação geral, obtemos: 1 = C1 * e^(7*0) + C2 * 0 * e^(7*0) 1 = C1 Substituindo x = 0, y' = 2 na derivada da equação geral, obtemos: 2 = 7C1 * e^(7*0) + C2 * (1 * e^(7*0) + 7 * 0 * e^(7*0)) 2 = 7C1 + C2 Agora, substituímos C1 = 1 na segunda equação: 2 = 7 * 1 + C2 2 = 7 + C2 C2 = 2 - 7 C2 = -5 Portanto, a solução específica da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: y(x) = e^(7x) - 5x * e^(7x) Assim, a alternativa correta é a letra E) y = e^(7x) - 5x * e^(7x).