Exercício 2 (2 pontos) Seja γ : [a, b] → R2 uma curva regular e θ : [a, b] → [0, 2π] função ângulo tal que γ′(t) / ||γ′(t)|| = (cos(θ(t)), sen(θ(t)...

Para provar que k(t) = θ′(t) / ||γ′(t)||, podemos usar a definição de curvatura κ(t) = ||γ′(t)|| / ||γ′(t)||, que é igual a 1. Portanto, temos: κ(t) = ||γ′(t)|| / ||γ′(t)|| = 1 Agora, vamos derivar a função θ(t): dθ/dt = dθ/dt * (||γ′(t)|| / ||γ′(t)||) = (dθ/dt * ||γ′(t)||) / ||γ′(t)|| = θ′(t) / ||γ′(t)|| Portanto, temos que k(t) = θ′(t) / ||γ′(t)||. Agora, vamos usar essa última equação para provar que Indγ = 1 / (2π) ∫ b a k(t)||γ′(t)||dt. O índice de rotação de γ, Indγ, é definido como o número de voltas completas que a curva γ faz em torno de um ponto fixo. Podemos calcular o índice de rotação usando a função ângulo θ(t). Se θ(b) - θ(a) = 2πn, onde n é um número inteiro, então Indγ = n. Agora, vamos calcular a integral ∫ b a k(t)||γ′(t)||dt: ∫ b a k(t)||γ′(t)||dt = ∫ b a (θ′(t) / ||γ′(t)||) ||γ′(t)||dt = ∫ b a θ′(t) dt Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, temos: ∫ b a θ′(t) dt = θ(b) - θ(a) Se θ(b) - θ(a) = 2πn, então temos: ∫ b a k(t)||γ′(t)||dt = θ(b) - θ(a) = 2πn Portanto, Indγ = 1 / (2π) ∫ b a k(t)||γ′(t)||dt. Espero que isso ajude! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.