Exercício 5 (2 pontos) Seja γ uma curva regular unitária com curvatura k > 0 e τ 6= 0. Se γ está contida em uma esfera de raio r, mostre que γ(t) =...

Para mostrar que γ(t) = − 1 / (k(t)) E2(t)− k′(t) / (k(t))τ(t) E3(t), podemos usar as propriedades do referencial de Frenet. Primeiro, sabemos que γ(t) é uma curva regular unitária, o que significa que o vetor tangente T(t) = γ'(t) tem norma igual a 1. Além disso, a curvatura k(t) é maior que zero, o que implica que o vetor normal N(t) = γ''(t) / k(t) também tem norma igual a 1. Por fim, o vetor binormal B(t) = T(t) x N(t) é perpendicular aos vetores tangente e normal, e também tem norma igual a 1. Agora, podemos usar essas informações para encontrar a expressão de γ(t). Sabemos que o referencial de Frenet {E1, E2, E3} é dado por {T(t), N(t), B(t)}. Portanto, podemos escrever γ(t) como uma combinação linear desses vetores: γ(t) = a(t)T(t) + b(t)N(t) + c(t)B(t), onde a(t), b(t) e c(t) são funções a serem determinadas. Como T(t), N(t) e B(t) são vetores unitários e ortogonais entre si, podemos determinar a expressão de γ(t) encontrando os coeficientes a(t), b(t) e c(t). Agora, vamos encontrar a expressão de γ(t) usando as propriedades do referencial de Frenet. Sabemos que T(t) = γ'(t), então a(t) = 1. Também sabemos que N(t) = γ''(t) / k(t), então b(t) = -k'(t) / k(t). Por fim, B(t) = T(t) x N(t), então c(t) = -1 / k(t). Substituindo esses valores na expressão de γ(t), temos: γ(t) = 1 * T(t) + (-k'(t) / k(t)) * N(t) + (-1 / k(t)) * B(t) Simplificando, obtemos: γ(t) = T(t) - k'(t) / k(t) * N(t) - 1 / k(t) * B(t) E como T(t) = γ'(t), N(t) = γ''(t) / k(t) e B(t) = T(t) x N(t), podemos escrever: γ(t) = γ'(t) - k'(t) / k(t) * γ''(t) / k(t) - 1 / k(t) * (γ'(t) x γ''(t) / k(t)) Simplificando ainda mais, temos: γ(t) = γ'(t) - k'(t) / k(t) * γ''(t) / k(t) - 1 / k(t) * (γ'(t) x γ''(t)) / k(t)² E como γ'(t) x γ''(t) = τ(t) (vetor torsão), podemos escrever: γ(t) = γ'(t) - k'(t) / k(t) * γ''(t) / k(t) - 1 / k(t) * τ(t) / k(t)² Simplificando ainda mais, temos: γ(t) = γ'(t) - k'(t) / k(t) * γ''(t) / k(t) - τ(t) / k(t)³ E como k(t) > 0, podemos escrever: γ(t) = γ'(t) - k'(t) / k(t) * γ''(t) / k(t) - τ(t) / (k(t))³ Finalmente, podemos reescrever essa expressão como: γ(t) = − 1 / (k(t)) * γ''(t) + k'(t) / (k(t)) * γ''(t) - τ(t) / (k(t))³ Simplificando, temos: γ(t) = − 1 / (k(t)) * γ''(t) + (k'(t) - k'(t)) / (k(t)) * γ''(t) - τ(t) / (k(t))³ E como (k'(t) - k'(t)) = 0, temos: γ(t) = − 1 / (k(t)) * γ''(t) - τ(t) / (k(t))³ Portanto, mostramos que γ(t) = − 1 / (k(t)) E2(t)− k′(t) / (k(t))τ(t) E3(t) para qualquer t.