Exercício 6 (1 ponto) Considere a esfera unitária S = {v ∈ R3; 〈v, v〉 = 1} e faça o que se pede: (a) Prove que S é uma superfície regular. (b) Dete...

(a) Para provar que a esfera unitária S = {v ∈ R3; 〈v, v〉 = 1} é uma superfície regular, precisamos mostrar que para cada ponto p ∈ S, existe uma vizinhança U de p e uma função diferenciável φ: U → R3 tal que φ(U ∩ S) = U ∩ (R3 ∩ {v ∈ R3; 〈v, v〉 = 1}) seja um gráfico de uma função de duas variáveis. Podemos definir a função φ: U → R3 como φ(x, y) = (x, y, √(1 - x^2 - y^2)), onde (x, y) pertence a uma vizinhança U de p. Essa função mapeia pontos em U para a esfera S. Agora, vamos mostrar que φ é diferenciável. As derivadas parciais de φ em relação a x e y são contínuas em U, pois são funções polinomiais. Portanto, φ é diferenciável em U. Além disso, podemos verificar que φ(U ∩ S) = U ∩ (R3 ∩ {v ∈ R3; 〈v, v〉 = 1}), ou seja, a imagem de U ∩ S sob φ é exatamente a interseção de U com a esfera unitária em R3. Portanto, S é uma superfície regular. (b) Para determinar o espaço tangente e o espaço normal em um ponto p ∈ S qualquer, podemos utilizar o conceito de vetor normal à superfície. Dado um ponto p = (x, y, z) ∈ S, o vetor normal à esfera unitária em p é dado por N = (∂z/∂x, ∂z/∂y, -1), onde ∂z/∂x e ∂z/∂y são as derivadas parciais de z em relação a x e y, respectivamente. O espaço tangente em p é o conjunto de todos os vetores tangentes à superfície em p. Podemos representar o espaço tangente como Tp(S) = {v ∈ R3; 〈v, N〉 = 0}, onde 〈v, N〉 é o produto escalar entre v e N. O espaço normal em p é o conjunto de todos os vetores perpendiculares à superfície em p. Podemos representar o espaço normal como Np(S) = {v ∈ R3; 〈v, N〉 ≠ 0}, onde 〈v, N〉 é o produto escalar entre v e N. Espero que isso ajude! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.