Questão 1 (2,5 pontos) Uma pesquisa realizada nas festas de fim de ano apurou que: • Metade dos pesquisados não consumiram álcool. • 1/3 dos que...

Questão 1 (2,5 pontos) Uma pesquisa realizada nas festas de fim de ano apurou que:
• Metade dos pesquisados não consumiram álcool.
• 1/3 dos que consumiram cerveja também consumiram bebidas destiladas.
• O número de entrevistados que consumiram bebidas alcoólicas destiladas é igual ao número de
entrevistados que consumiram bebidas alcoólicas fermentadas.
• 100 entrevistados beberam apenas bebidas alcoólicas fermentadas, não incluindo cerveja.
• 136 entrevistados consumiram bebidas alcoólicas fermentadas e bebidas alcoólicas destiladas,
mas não consumiram cerveja.
• Uma informação importante é que a cerveja é uma bebida alcoólica fermentada.
(a) Represente a situação por meio de um diagrama de Venn.
(b) Denote por x o número de entrevistados que consumiram cerveja e bebidas alcoólicas destiladas.
(c) Preencha as demais regiões do diagrama de Venn com as quantidades de entrevistados, de
acordo com as informações dadas. Algumas destas quantidades estarão em função de x, isto é,
representadas como uma expressão em que aparecerão x e/ou números.
(d) Sabendo que metade dos que beberam bebidas alcoólicas fermentadas também beberam bebidas
alcoólicas destiladas, determine o número total de participantes da pesquisa.
Solução:
(a) Podemos representar a situação por meio do seguinte diagrama de Venn:
No diagrama acima, D, F e C representam os conjuntos dos pesquisados que beberam destila-
dos, fermentados e cerveja, respectivamente. O conjunto U representa o universo de todos
os pesquisados. Observe que, por conta da última informação dada, C ⊂ F ; como cerveja é
uma bebida alcoólica fermentada, todos os que consumiram cerveja também consumiram bebidas
fermentadas. Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 1 da AD 1 – 2023-1 2
(b) Denotando por x os entrevistados que beberam cerveja e bebidas alcoólicas destiladas, temos
(c) A segunda informação nos diz que 1/3 dos que beberam cerveja, também beberam destilados,
portanto, o número total de entrevistados que beberam cerveja é o triplo do número dos que
beberam cerveja e destilado. Assim, 3x pesquisados beberam cerveja. Destes 3x, sabemos que
x beberam destilados, portanto 2x não beberam. Atualizando o diagrama, temos:
A quarta informação, nos diz que 100 pessoas beberam fermentadas não incluindo cerveja.
Representando esta informação no diagrama, temos:
Pela quinta informação, 136 entrevistados consumiram bebidas alcoólicas fermentadas e bebidas
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alcoólicas destiladas, mas não consumiram cerveja. Portanto, temos
A terceira informação nos diz que o número de entrevistados que consumiram bebidas alcoólicas
destiladas é igual ao número de entrevistados que consumiram bebidas alcoólicas fermentadas.
Temos um total de
136 + x+ 2x+ 100 = 3x+ 236
pesquisados que consumiram bebidas fermentadas, portanto este também é o número de pes-
quisados que consumiram destilados. Destes, 136+x consumiram fermentados (as duas regiões
da interseção de D com F ), portanto 3x + 236 − (136 + x) = 2x + 100 consumiram apenas
destilados. O diagrama fica, então:
Por fim, a primeira informação nos diz que metade dos entrevistados sabiamente não consumiu
álcool no Carnaval. Com isso, o número de pesquisados que estão em U mas não nos em D∪F
é igual ao número dos que estão em D ∪ F , que é dado pela soma de todas as regiões já
preenchidas, 2x+ 100 + 136 + x+ 2x+ 100 = 5x+ 336.
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(d) É dito que metade dos que beberam bebidas alcoólicas fermentadas também beberam destiladas.
O número dos que beberam fermentadas é dado por 136+x+2x+100 = 3x+236. O número

dos que beberam fermentadas e destiladas é dado por 136 + x. Assim,
136 + x =
1
2
(3x+ 236) .
Multiplicando os dois lados da equa