Nos problemas abaixo, resolver a equação diferencial proposta. a) y′ = x^2y; b) y′ = x^2y(1+x^3); c) y′ + y^2senx = 0; d) y′ = 1 + x + y^2 + xy^2...

Vamos resolver cada uma das equações diferenciais propostas: a) y' = x^2y Essa é uma equação diferencial separável. Podemos reescrevê-la da seguinte forma: dy/y = x^2 dx Integrando ambos os lados, temos: ln|y| = (1/3)x^3 + C Exponenciando ambos os lados, obtemos: |y| = e^((1/3)x^3 + C) Como C é uma constante arbitrária, podemos substituí-la por outra constante, por exemplo, D: |y| = e^((1/3)x^3 + D) Portanto, a solução geral da equação diferencial é: y = ± e^((1/3)x^3 + D) b) y' = x^2y(1+x^3) Essa é uma equação diferencial separável. Podemos reescrevê-la da seguinte forma: dy/y(1+x^3) = x^2 dx Integrando ambos os lados, temos: ln|y| - ln|1+x^3| = (1/3)x^3 + C Aplicando as propriedades dos logaritmos, podemos escrever: ln|y/(1+x^3)| = (1/3)x^3 + C Exponenciando ambos os lados, obtemos: |y/(1+x^3)| = e^((1/3)x^3 + C) Como C é uma constante arbitrária, podemos substituí-la por outra constante, por exemplo, D: |y/(1+x^3)| = e^((1/3)x^3 + D) Portanto, a solução geral da equação diferencial é: y = ± e^((1/3)x^3 + D)(1+x^3) c) y' + y^2senx = 0 Essa é uma equação diferencial não linear. Não é possível encontrar uma solução analítica geral para essa equação. No entanto, é possível resolver numericamente ou por métodos aproximados. d) y' = 1 + x + y^2 + xy^2 Essa é uma equação diferencial não linear. Não é possível encontrar uma solução analítica geral para essa equação. No entanto, é possível resolver numericamente ou por métodos aproximados. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.