P3 2013.1 - Prof. Sérgio

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Abstract.
TERCEIRA PROVA DE A´LGEBRA LINEAR III
Data: 07-08-2013
Prof.: Se´rgio Luiz Silva
In´ıcio: 13h20min
Te´rmino: 16h00min
ATENC¸A˜O: Escolha quaisquer questo˜es que somem 10(dez) pontos. Na˜o podera´ ser escolhido
um item de questa˜o se toda a questa˜o na˜o for selecionada. Sera˜o corrigidas somente as questo˜es
inicialmente resolvidas que somem os dez pontos, as demais sera˜o ignoradas.
1) Sejam β = {v1, v2, v3} uma base de R3. Sabendo-se que a matriz de mudanc¸a de coordenadas da base β
para a base γ = { (1, 1, 0) , (1, 0, 1) , (0, 1, 1) } e´ a matriz
[ I ]βγ =
 1 −1 02 3 0
0 0 −2
 .
Determine, justificando:
1.1) Os vetores da base β (valor 2,0 pontos).
1.2) A matriz de mudanc¸a de coordenadas da base γ para a base β (valor 1,0 ponto).
2) Sejam A, B e C matrizes quadradas reais de ordem n. Decida, justificando, se as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o
verdadeiras ou falsas:
2.1) Se C e´ invert´ıvel enta˜o detC−1 = 1detC (valor 0,5 pontos).
2.2) Se C e´ invert´ıvel e B = C.A.C−1 enta˜o detB = detA e trac¸oB = trac¸oA (valor 1,0 ponto).
2.3) Se A e´ ortogonal enta˜o detA = 1 ou detA = −1 (valor 0,5 pontos).
3) Encontre, justificando, os valores de k para os quais o sistema x + 2ky + z = 1kx − z = 2
x − y + z = 3
e´ SI, SPD ou SPI (valor 3,0 pontos)
4) Seja T : R2 → R2 a transformac¸a˜o linear cuja matriz em relac¸a˜o a` base β = { (1, 1) , (−1, 1) } e´ dada por
[T ]β =
(−2 1
1 1
)
.
Determine, justificando, T−1(x, y) para qualquer (x, y) ∈ R2 (valor 2,0 pontos).
5) Seja T : R3 → R2 a transformac¸a˜o linear T (x, y, z) = (x − y + z, x + y − 2z), (x, y, z) ∈ R3. Determine,
justificando, [T ]βγ para β = { (1, 1, 0) , (1, 0, 1) , (0, 1, 1) } e γ = { (1, 1) , (0, 1) } (valor 2,0 pontos).
6) Considere os subespac¸os S1 = [ (1,−1, 1, 2) , (1, 0, 1, 1) ] e S2 = [ (−1,−1,−1, 0) , (2, 0, 1, 2) ]. Determine,
justificando:
6.1) Uma base para o subespac¸o S1 ∩ S2 (valor 1,0 ponto).
6.2) A dimensa˜o do subespac¸o S1 + S2 (valor 1,0 ponto).
7) Encontre, justificando, o nu´cleo e a imagem da tranformac¸a˜o linear T da Questa˜o 5 (valor 2,0 pontos).
8) Dizemos que duas matrizes quadradas reais de ordem n ≥ 2, A e B, sa˜o congruentes quando existe uma
matriz invert´ıvel C tal que B = C.A.Ct. Assuma que se A e´ sime´trica e L1, L2, . . . , Lm e´ uma sequeˆncia
de operac¸o˜es elementares por linhas, representadas pelas matrizes E1, E2, . . . , Em respectivamente, tal que
(Em . . . E2.E1).A e´ triangular superior enta˜o Em . . . E2.E1 e´ invert´ıvel e
(Em . . . E2.E1).A.(Em . . . E2.E1)
t
e´ uma matriz diagonal. Aqui, Em . . . E2.E1 representa o produto das matrizes Em, . . . , E2, E1. Resolva ou
responda, justificando:
8.1) Matrizes congruentes teˆm o mesmo determinante? (Valor 1,0 ponto.)
8.2) Para a matriz A =
−1 1 21 1 −1
2 −1 3
 , encontre uma matriz invert´ıvel C, de ordem 3, tal que C.A.Ct
seja diagonal (valor 3,0 pontos).