Expresse os vetores abaixo como combinação linear de p1 = 4x²+x+2, p2 = 3x²-x+1, p3 = 5x²+2x+3 a) -15x² -7x -9 b) 6x² + 11x +6 c) 9x² + 8x +3 d) 0

a) \(P=-15x^2-7x-9\)

Criando a combinação linear desejada, temos:

\[P=a\cdot p_1+b\cdot p_2+c\cdot p_3\]

\[-15x^2-7x-9=a(4x^2+x+2)+b(3x^2-x+1)+c(5x^2+2x+3)\]

Rearranjando os termos, temos:

\[(4a+3b+5c+15)x^2+(a-b+2c+7)x+(2a+b+3c+9)=0\]

Essa igualdade deve ser verdadeira para qualquer valor de \(x\) de forma que os coeficientes devem se anular:

\[\begin{cases}4a+3b+5c+15=0\\a-b+2c+7=0\\2a+b+3c+9=0\end{cases}\]

Fazendo \(L_3\leftarrow L_1+L_2-2L_3\)e \(L_2\leftarrow L_1+3L_2\) temos:

\[\begin{cases}4a+3b+5c+15=0\\7a+11c+36=0\\a+c+4=0\end{cases}\]

Substituindo a última na segunda, temos:

\[\eqalign{7a+11c+36&=0\cr 7(a+c)+4c+36&=0\cr -28+4c+36&=0\cr 4c&=-8\cr c&=-2}\]

Substituindo na última equação, temos:

\[a-2+4=0\Rightarrow a=-2\]

Por último, substituindo na primeira equação, temos:

\[-8+3b-10+15=0\Rightarrow b=1\]

Dessa forma temos a combinação linear procurada:

\[\boxed{-15x^2-7x-9=-2\cdot p_1+1\cdot p_2-2\cdot p_3}\]

b) \(P=6x^2 + 11x +6\)

Criando a combinação linear desejada, temos:

\[P=a\cdot p_1+b\cdot p_2+c\cdot p_3\]

\[6x^2 + 11x +6=a(4x^2+x+2)+b(3x^2-x+1)+c(5x^2+2x+3)\]

Rearranjando os termos, temos:

\[(4a+3b+5c-6)x^2+(a-b+2c-11)x+(2a+b+3c-6)=0\]

Essa igualdade deve ser verdadeira para qualquer valor de \(x\) de forma que os coeficientes devem se anular:

\[\begin{cases}4a+3b+5c-6=0\\a-b+2c-11=0\\2a+b+3c-6=0\end{cases}\]

Fazendo \(L_3\leftarrow L_1+L_2-2L_3\)e \(L_2\leftarrow L_1+3L_2\) temos:

\[\begin{cases}4a+3b+5c-6=0\\7a+11c-39=0\\a+c-5=0\end{cases}\]

Substituindo a última na segunda, temos:

\[\eqalign{7a+11c-39&=0\cr 7(a+c)+4c-39&=0\cr 35+4c-39&=0\cr 4c&=4\cr c&=1}\]

Substituindo na última equação, temos:

\[a+1-5=0\Rightarrow a=4\]

Por último, substituindo na primeira equação, temos:

\[16+3b+5-6=0\Rightarrow b=-5\]

Dessa forma temos a combinação linear procurada:

\[\boxed{6x^2 + 11x +6=4\cdot p_1-5\cdot p_2+1\cdot p_3}\]

c) \(P=9x^2 + 8x +3\)

Criando a combinação linear desejada, temos:

\[P=a\cdot p_1+b\cdot p_2+c\cdot p_3\]

\[9x^2 + 8x +3=a(4x^2+x+2)+b(3x^2-x+1)+c(5x^2+2x+3)\]

Rearranjando os termos, temos:

\[(4a+3b+5c-9)x^2+(a-b+2c-8)x+(2a+b+3c-3)=0\]

Essa igualdade deve ser verdadeira para qualquer valor de \(x\) de forma que os coeficientes devem se anular:

\[\begin{cases}4a+3b+5c-9=0\\a-b+2c-8=0\\2a+b+3c-3=0\end{cases}\]

Fazendo \(L_3\leftarrow L_1+L_2-2L_3\)e \(L_2\leftarrow L_1+3L_2\) temos:

\[\begin{cases}4a+3b+5c-9=0\\7a+11c-33=0\\a+c-11=0\end{cases}\]

Substituindo a última na segunda, temos:

\[\eqalign{7a+11c-33&=0\cr 7(a+c)+4c-33&=0\cr 77+4c-33&=0\cr 4c&=-44\cr c&=-11}\]

Substituindo na última equação, temos:

\[a-11-11=0\Rightarrow a=22\]

Por último, substituindo na primeira equação, temos:

\[88+3b-55-9=0\Rightarrow b=-8\]

Dessa forma temos a combinação linear procurada:

\[\boxed{9x^2 + 8x +3=22\cdot p_1-8\cdot p_2-11\cdot p_3}\]

d) \(P=0\)

Criando a combinação linear desejada, temos:

\[P=a\cdot p_1+b\cdot p_2+c\cdot p_3\]

\[0=a(4x^2+x+2)+b(3x^2-x+1)+c(5x^2+2x+3)\]

Rearranjando os termos, temos:

\[(4a+3b+5c)x^2+(a-b+2c)x+(2a+b+3c)=0\]

Essa igualdade deve ser verdadeira para qualquer valor de \(x\) de forma que os coeficientes devem se anular:

\[\begin{cases}4a+3b+5c=0\\a-b+2c=0\\2a+b+3c=0\end{cases}\]

Fazendo \(L_3\leftarrow L_1+L_2-2L_3\)e \(L_2\leftarrow L_1+3L_2\) temos:

\[\begin{cases}4a+3b+5c=0\\7a+11c=0\\a+c=0\end{cases}\]

Substituindo a última na segunda, temos:

\[\eqalign{7a+11c&=0\cr 7(a+c)+4c&=0\cr 0+4c&=0\cr 4c&=0\cr c&=0}\]

Substituindo na última equação, temos:

\[a+0=0\Rightarrow a=0\]

Por último, substituindo na primeira equação, temos:

\[0+3b+0=0\Rightarrow b=0\]

Dessa forma temos a combinação linear procurada:

\[\boxed{0=0\cdot p_1+0\cdot p_2+0\cdot p_3}\]