Quanto vale a integral de superfície do campo vetorial F(x,y,z)=(x, y, x+y+z) através da superfície S:x+y+z=1, 0≤x≤1 e 0≤y≤1?

Para calcular a integral de superfície do campo vetorial F(x, y, z) através da superfície S, podemos usar o Teorema de Gauss, também conhecido como Teorema da Divergência. Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial F(x, y, z): ∇ · F = ∂F/∂x + ∂F/∂y + ∂F/∂z = 1 + 1 + 1 = 3 Agora, vamos calcular a integral de superfície usando o Teorema de Gauss: ∫∫∫V (∇ · F) dV = ∫∫S F · dS Como a superfície S é definida por x + y + z = 1, podemos reescrever a integral de superfície como: ∫∫S F · dS = ∫∫S (x, y, x+y+z) · dS Agora, precisamos parametrizar a superfície S. Podemos fazer isso usando as coordenadas (u, v), onde 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ 1: x = u y = v z = 1 - u - v Agora, vamos calcular o vetor normal à superfície S: dS = (∂r/∂u) x (∂r/∂v) du dv Onde r(u, v) = (u, v, 1 - u - v). Calculando as derivadas parciais: ∂r/∂u = (1, 0, -1) ∂r/∂v = (0, 1, -1) Agora, calculamos o produto escalar entre o campo vetorial F e o vetor normal dS: F · dS = (x, y, x+y+z) · (∂r/∂u x ∂r/∂v) du dv Fazendo o produto vetorial: ∂r/∂u x ∂r/∂v = (1, 0, -1) x (0, 1, -1) = (1, 1, 1) Agora, calculamos o produto escalar: F · dS = (u, v, 1 - u - v) · (1, 1, 1) du dv = (u + v + 1 - u - v) du dv = du dv Agora, podemos escrever a integral de superfície como: ∫∫S F · dS = ∫∫S du dv Como a superfície S é um triângulo com vértices (0, 0, 1), (1, 0, 0) e (0, 1, 0), podemos integrar sobre o triângulo: ∫∫S du dv = ∫0^1 ∫0^(1-u) du dv Integrando em relação a u: ∫0^1 ∫0^(1-u) du dv = ∫0^1 (1 - u) dv = ∫0^1 dv - ∫0^1 u dv = 1 - 1/2 = 1/2 Portanto, o valor da integral de superfície do campo vetorial F(x, y, z) através da superfície S é 1/2.