Quanto vale a integral de superfície do campo vetorial F(x,y,z)=(x, y, z−1) através da superfície S:x+y+z=1, 0≤x≤1 e 0≤y≤1? 0 2

Para calcular a integral de superfície do campo vetorial F(x, y, z) = (x, y, z-1) através da superfície S: x + y + z = 1, 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1, podemos usar o Teorema de Gauss. Primeiro, vamos encontrar o vetor normal à superfície S. A equação da superfície pode ser reescrita como z = 1 - x - y. Portanto, o vetor normal é dado por N = (1, 1, -1). Agora, vamos calcular a integral de superfície usando a fórmula: ∬S F · dS = ∬S (F · N) dS Substituindo os valores de F e N, temos: ∬S (x, y, z-1) · (1, 1, -1) dS = ∬S (x + y - z + 1) dS Agora, vamos parametrizar a superfície S. Podemos escolher as variáveis x e y como parâmetros, e expressar z em termos de x e y usando a equação da superfície: z = 1 - x - y Agora, vamos calcular o vetor tangente em relação a x e y: r_x = (1, 0, -1) r_y = (0, 1, -1) Calculando o produto vetorial entre r_x e r_y, obtemos o vetor tangente: r_x × r_y = (1, 1, 1) Agora, vamos calcular o módulo desse vetor tangente: |r_x × r_y| = √(1^2 + 1^2 + 1^2) = √3 Agora, podemos escrever a integral de superfície como: ∬S (x + y - z + 1) dS = ∬D (x + y - (1 - x - y) + 1) √3 dA Onde D é a projeção da superfície S no plano xy. Neste caso, D é um triângulo com vértices (0, 0), (1, 0) e (0, 1). Agora, podemos calcular a integral de superfície: ∬D (x + y - (1 - x - y) + 1) √3 dA = ∫[0,1] ∫[0,1-x] (2x + 2y) √3 dy dx = ∫[0,1] [(x + 1)√3 - (x^2 + x)√3] dx = ∫[0,1] [(1 - x^2)√3] dx = [(x - (x^3)/3)√3] |[0,1] = (1 - (1^3)/3)√3 - (0 - (0^3)/3)√3 = (2/3)√3 Portanto, o valor da integral de superfície é (2/3)√3.