Quanto vale a integral de superfície do campo vetorial F(x,y,z)=(x+y, y, z) através da superfície S:x+y+z=1, 0≤x≤1 e 0≤y≤1? 0 true

Para calcular a integral de superfície do campo vetorial F(x, y, z) = (x + y, y, z) através da superfície S: x + y + z = 1, 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1, podemos usar o Teorema de Gauss. Primeiro, vamos calcular o vetor normal à superfície S. A equação da superfície pode ser reescrita como z = 1 - x - y. Portanto, o vetor normal é dado por N = (1, 1, -1). Agora, vamos calcular o fluxo do campo vetorial F através da superfície S. Podemos usar a fórmula do fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada: Fluxo = ∬S F · dS Onde F · dS é o produto escalar entre o campo vetorial F e o vetor diferencial de área dS. Substituindo os valores de F e N na fórmula do fluxo, temos: Fluxo = ∬S (x + y, y, z) · (1, 1, -1) dS Agora, precisamos parametrizar a superfície S. Podemos fazer isso usando as variáveis u e v, onde 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ 1: x = u y = v z = 1 - u - v Calculando o produto escalar e substituindo as variáveis, temos: Fluxo = ∬S (u + v, v, 1 - u - v) · (1, 1, -1) dS Agora, podemos calcular a integral de superfície: Fluxo = ∫∫S (u + v + v - 1 + u + v) dA Integrando em relação a u e v, com os limites de integração 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ 1, temos: Fluxo = ∫0^1 ∫0^1 (2u + 2v - 1) du dv Resolvendo essa integral, encontramos o valor do fluxo do campo vetorial F através da superfície S.