(2,0 pontos) Resolva as equações diferenciais de 1a ordem (a) x dy dx − 2y = −y3 (b) dy dx = 5 − 2y, y(0) = y0

(a) Para resolver a equação diferencial x(dy/dx) - 2y = -y^3, podemos usar o método da separação de variáveis. Vamos começar isolando as variáveis y e x: dy/y^3 = (dx/x) - 2 Agora, vamos integrar ambos os lados da equação: ∫(dy/y^3) = ∫((dx/x) - 2) Para a integral do lado esquerdo, podemos usar a regra da potência: -1/(2y^2) = ln|x| - 2x + C Onde C é a constante de integração. Agora, podemos resolver para y: -1/(2y^2) = ln|x| - 2x + C Multiplicando ambos os lados por -2y^2: 1 = -2y^2(ln|x| - 2x + C) Dividindo por -2: -1/2 = y^2(ln|x| - 2x + C) Tomando a raiz quadrada: y = ±√((-1/2)/(ln|x| - 2x + C)) Essa é a solução geral da equação diferencial. (b) Para resolver a equação diferencial dy/dx = 5 - 2y, com a condição inicial y(0) = y0, podemos usar o método da separação de variáveis. Vamos começar isolando as variáveis y e x: dy/(5 - 2y) = dx Agora, vamos integrar ambos os lados da equação: ∫(dy/(5 - 2y)) = ∫dx Para a integral do lado esquerdo, podemos usar a técnica de substituição: Seja u = 5 - 2y, então du = -2dy Substituindo na integral: -1/2 ∫(1/u) du = x + C -1/2 ln|u| = x + C -1/2 ln|5 - 2y| = x + C Aplicando a condição inicial y(0) = y0: -1/2 ln|5 - 2y0| = 0 + C C = -1/2 ln|5 - 2y0| Substituindo o valor de C na equação: -1/2 ln|5 - 2y| = x - 1/2 ln|5 - 2y0| Essa é a solução geral da equação diferencial com a condição inicial y(0) = y0.