Questão resolvida - Dada a equação xy e admitindo que esta equação define uma função tal que yf(x). Determine o valor da expressão y", considerando x3 e y4. - Cálculo I - UCL

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Dada a equação e admitindo que esta equação define uma função tal que x³ + y³
. Determine o valor da expressão y", considerando e .y = f x( ) x = 3 y = 4
 
Resolução:
 
Inicialmente, é preciso encontrar a primeira derivada da função, vamos considerar que a 
expressão dada implincitamente seja;
 
x³ + y³ = k
 Onde k é uma cosntante.
Aplicando o conceito de derivadas implícitas, temos;
 
x³ + y³ = k 3x + 3y y' = 0 3y y' = - 3x y' = - y' = -⏫⏪⏪⏪⏪ 
2 2
→
2 2
→
3x
3y
2
2
→
x
y
2
2
Assim, chegamos à primeira derivada, uma função quociente, a segunda derivada é dada 
por;
 
y' = - y'' = - y'' =
x
y
2
2
→
2xy - 2yy'x
y
2 2
2 2
→
2yy'x - 2xy
y
2 2
4
 é a priemira derivada, dubstituindo, fica;y'
 
y'' = y'' = y'' = y'' =
2yy'x - 2xy
y
2 2
4
→
2y - x - 2xy
y
x
y
2
2
2 2
4
→
- - 2xy
y
2yx x
y
2 2
2
2
4
→
- - 2xy
y
2x
y
4
2
4
 
y'' = -2 y'' = -2 = - 2
+ xy
y
x
y
4
2
4
→
y
x +xy y
y
4 2
4
x + xy
yy
4 3
4
 
y'' = - 2
x + xy
y
4 3
5
Se e , fica;x = 3 y = 4
 
 
 
derivando
(Resposta - 1)
y'' = -2 y'' = -2 y'' = -2 y'' = -2
3 + 3 4
4
( )4 ( )( )3
( )5
→
81 + 3 ⋅ 64
1024
→
81 + 192
1024
→
273
1024
 
y'' = -
273
512
 
 
(Resposta )