6) Dados os planos π1: -4x +4y –4 = 0 e π2: -2x + y + z = 0, determine: a) a interseção entre π1 e π2. b) o ângulo formado entre π1 e π2. RESP: a) ...

Resposta: a) Para determinar a interseção entre os planos π1 e π2, podemos igualar as equações dos planos e resolver o sistema de equações resultante. -4x + 4y - 4 = 0 -2x + y + z = 0 Podemos isolar x em ambas as equações: -4x = -4y + 4 -2x = -y - z Dividindo a segunda equação por 2, temos: x = (y + z)/2 Substituindo o valor de x na primeira equação, temos: -4((y + z)/2) = -4y + 4 -2(y + z) = -4y + 4 -2y - 2z = -4y + 4 2y = 2z + 4 y = z + 2 Portanto, a interseção entre os planos π1 e π2 é dada por y = z + 2 e x = (y + z)/2. b) Para determinar o ângulo formado entre os planos π1 e π2, podemos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores normais aos planos. Os vetores normais aos planos π1 e π2 são (-4, 4, 0) e (-2, 1, 1), respectivamente. Utilizando a fórmula do cosseno, temos: cosθ = (n1 · n2) / (||n1|| ||n2||) Onde n1 e n2 são os vetores normais aos planos π1 e π2, · representa o produto escalar e || || representa a norma de um vetor. Calculando o produto escalar e as normas, temos: n1 · n2 = (-4)(-2) + (4)(1) + (0)(1) = 8 + 4 + 0 = 12 ||n1|| = √((-4)^2 + 4^2 + 0^2) = √(16 + 16 + 0) = √32 = 4√2 ||n2|| = √((-2)^2 + 1^2 + 1^2) = √(4 + 1 + 1) = √6 Substituindo esses valores na fórmula do cosseno, temos: cosθ = 12 / (4√2 √6) = 3 / (√2 √6) = (3√2) / (2√6) = (√2) / 2 Para determinar o ângulo θ, podemos usar a função arccos para encontrar o ângulo cujo cosseno é (√2) / 2. Portanto, o ângulo formado entre os planos π1 e π2 é de 45°. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.