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Álgebra Linear

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9) Determine um vetor normal:
a) ao plano α determinado pelos pontos P=(-1,0,0), Q = (0,1,0) e R = (0,0,-1)
b) ao plano β que passa pelos pontos A=(1,0,1) e B= (2,2,1) e é paralelo ao vetor (1,-1,3)
c) ao plano π que passa pelo ponto A=(1,0,3) e é ortogonal ao vetor (3,2,5).


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Questões para o Sucesso

há 2 anos

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4a Lista_de_Exercícios
2 pág.

4a Lista_de_Exercícios

UFAM

Respostas

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há 2 anos

a) Para determinar um vetor normal ao plano α, podemos utilizar o produto vetorial entre dois vetores que estão contidos no plano. Vamos utilizar os vetores PQ e PR: Vetor PQ = Q - P = (0, 1, 0) - (-1, 0, 0) = (1, 1, 0) Vetor PR = R - P = (0, 0, -1) - (-1, 0, 0) = (1, 0, -1) Agora, vamos calcular o produto vetorial entre esses dois vetores: Vetor normal = PQ x PR = (1, 1, 0) x (1, 0, -1) Utilizando as propriedades do produto vetorial, temos: Vetor normal = (1*(-1) - 0*0, 0*(-1) - 1*1, 1*0 - 1*1) = (-1, -1, -1) Portanto, um vetor normal ao plano α é (-1, -1, -1). b) Para determinar um vetor normal ao plano β, que é paralelo ao vetor (1, -1, 3), podemos utilizar esse vetor como vetor normal, pois vetores paralelos possuem a mesma direção. Portanto, um vetor normal ao plano β é (1, -1, 3). c) Para determinar um vetor normal ao plano π, que é ortogonal ao vetor (3, 2, 5), podemos utilizar esse vetor como vetor normal, pois vetores ortogonais possuem produto escalar igual a zero. Portanto, um vetor normal ao plano π é (3, 2, 5). Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.

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1) Determine a equação geral do plano π que:
a) passa pelo ponto D(1,–1,2) e é ortogonal ao vetor v=(2,–3,1);
b) passa pelo ponto A(1,−2,1) e é paralelo aos vetores kjia−+= e k2jib−+= ;
c) passa pelos pontos A(–2,1,0) , B(–1,4,2) e C( 0,–2,2);
d) passa pelos pontos P(−2,1,0),Q(−1,4,2) e R(0,−2,2);
e)passa pelos pontos A(2,1,5), B(−3,−1,3) e C(4,2,3);
f) passa pelo ponto E( 1,2,2) e contém os vetores v=(2,–1,1) e w=( –3,1,−2);
g) passa pelo ponto P(2,−1,3) e é paralelo ao plano XOZ;
RESP: a)π:2x−3y+z−7=0 b)π:x−y−z=0
c)π:12x+2y−9z+22=0 d) π:12x+2y−9z+22=0
e)π:6x−14y−z+7=0 f)π:x+y−z−5=0 g)π:y+1=0


2) Determine a equação geral do plano α que contém os pontos A (1,−2,2) e B(−3,1,−2) e é perpendicular ao plano π: 2x+y−z+8-0.
RESP: α: x−12y−10z−5=0


3) Um plano π que contém o ponto P(3,3,−1) intercepta os semieixos coordenados positivos OX,OY e OZ, respectivamente nos pontos A,B, e C, tais que |OB|2|OA| = e | OC|3 || =OA . Determine a equação geral de π. RESP: π;x+2y+3z−6=0


4)Determinar equação geral do plano π que passa pelo ponto A(4, 1, 0) e é perpendicular aos planos π1: 2x –y –4z– 6 = 0 e π2: x + y + 2z -3 = 0.
RESP: π: 2x−8y+ 3z=0


5) Calcule o volume do tetraedro, cujas faces são os planos coordenados e o plano π:5x+4y−10z−20=0.
RESP: VT= 3

6) Dados os planos π1: -4x +4y –4 = 0 e π2: -2x + y + z = 0, determine:
a) a interseção entre π1 e π2.
b) o ângulo formado entre π1 e π2.
RESP: a) y = z +2 e x = z+1 b) 30°


7) Sabendo que o plano π: x+y−z−2=0 intercepta os eixos cartesianos nos pontos D, E e F, determine a área A e a altura h do triângulo DEF.
RESP:

8) No paralelepípedo abaixo, tem-se que P = (2,4,3)
a) Determine a equação do plano que passa pelos pontos A, E e C.
b) Determine a equação do plano que passa pelos pontos O, P e D.
c) Determine a equação do plano que contém a face BCDP
d) Determine as coordenadas de um vetor normal ao plano que contém face DPFE


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