Considere a transformação linear T : R3 ! R3 dada por T (x; y; z) = (2z;�y; 2x). (a) Encontre os autovalores de T . (b) Encontre os autovetores d...

(a) Para encontrar os autovalores de T, precisamos encontrar os valores de λ que satisfazem a equação T(v) = λv, onde v é um vetor não nulo em R3. Substituindo T(x, y, z) = (2z, -y, 2x) e λ(x, y, z) = (λx, λy, λz), temos: T(x, y, z) = λ(x, y, z) (2z, -y, 2x) = (λx, λy, λz) Isso nos dá o seguinte sistema de equações: 2z = λx -y = λy 2x = λz A segunda equação nos diz que y = 0 ou λ = -1. Se y = 0, então a primeira e a terceira equações se tornam: 2z = λx 2x = λz Podemos reescrever isso como uma matriz e encontrar seus autovalores: | 0 2 0 | | 2 0 0 | | 0 0 λ | O determinante dessa matriz é -4λ², então os autovalores são λ = ±√2i. Se λ = -1, então a primeira e a terceira equações se tornam: 2z = -x 2x = -z Podemos reescrever isso como uma matriz e encontrar seus autovalores: | 0 2 0 | |-1 0 0 | | 0 0 -1 | O determinante dessa matriz é -4, então o autovalor é λ = -1. (b) Para encontrar os autovetores correspondentes aos autovalores encontrados acima, precisamos resolver a equação (T - λI)v = 0, onde I é a matriz identidade. Para λ = ±√2i, temos: (T - λI)v = 0 | 0 2 0 | | x | | 0 | | 2 0 0 | . | y | = | 0 | | 0 0 λ | | z | | 0 | A segunda equação nos diz que x = 0, então a primeira e a terceira equações se tornam: 2z = 0 0 = 0 Isso nos dá a solução z = 0. Portanto, o autovetor correspondente a λ = ±√2i é qualquer vetor da forma (0, y, 0), onde y é um número real. Para λ = -1, temos: (T - λI)v = 0 | 1 2 0 | | x | | 0 | | 2 1 0 | . | y | = | 0 | | 0 0 -2 | | z | | 0 | A primeira e a segunda equações nos dão x = -2y, e a terceira equação nos diz que z = 0. Portanto, o autovetor correspondente a λ = -1 é qualquer vetor da forma (-2y, y, 0), onde y é um número real. (c) Para diagonalizar T, precisamos encontrar uma matriz inversível P e uma matriz diagonal D tal que T = PDP^-1. A matriz D deve ter os autovalores de T na diagonal, e as colunas de P devem ser os autovetores correspondentes aos autovalores de T. Para λ = ±√2i, os autovetores correspondentes são (0, 1, 0) e (0, 0, 1), respectivamente. Para λ = -1, o autovetor correspondente é (-2, 1, 0). Portanto, podemos escolher: P = | 0 0 -2 | | 1 0 1 | | 0 1 0 | e D = | √2i 0 0 | | 0 -√2i 0 | | 0 0 -1 | Então, temos: P^-1 = | 0 0 1/2 | | 0 1 0 | |-1/2 0 0 | e PDP^-1 = | 2z 0 0 | | 0 -2z 0 | | 0 0 -1 | Portanto, T é diagonalizável.