Seja f : R2 → R com f(0, 0) = 0 e f(x, y) = x3 / (x2 + y2) se (x, y) 6= (0, 0). Mostre que f é cont́ınua em R2. Mostre também que todas as deriva...

Para mostrar que a função f é contínua em R2, podemos utilizar o critério de continuidade, que diz que uma função é contínua em um ponto se e somente se os limites existem e são iguais. Vamos analisar a continuidade de f em (0,0): 1. Limite quando (x, y) se aproxima de (0, 0): Lim (x, y) → (0, 0) [x³ / (x² + y²)] Vamos utilizar coordenadas polares para simplificar a expressão: Substituindo x = rcosθ e y = rsenθ, temos: Lim r → 0 [r³cos³θ / (r²cos²θ + r²sen²θ)] Lim r → 0 [r³cos³θ / r²(cos²θ + sen²θ)] Lim r → 0 [r³cos³θ / r²] Lim r → 0 [rcos³θ] Como cos³θ é limitado, temos: Lim r → 0 [rcos³θ] = 0 2. Valor de f(0, 0): f(0, 0) = 0 Como o limite quando (x, y) se aproxima de (0, 0) é igual ao valor de f(0, 0), podemos concluir que f é contínua em (0, 0) e, consequentemente, em R2. Agora, vamos mostrar que todas as derivadas direcionais de f se anulam na origem, mas f não é diferenciável na origem. Para calcular as derivadas direcionais, podemos utilizar a definição: df/dv = Lim h → 0 [f(0 + hv) - f(0)] / h Considerando v = (a, b), temos: df/dv = Lim h → 0 [f(ah, bh) - f(0, 0)] / h = Lim h → 0 [(ah)³ / ((ah)² + (bh)²) - 0] / h = Lim h → 0 [(a³h³) / (a²h² + b²h²)] / h = Lim h → 0 [a³h / (a² + b²)] / h = Lim h → 0 [a³ / (a² + b²)] = a³ / (a² + b²) Podemos observar que para qualquer valor de a e b, a derivada direcional é igual a a³ / (a² + b²). Portanto, todas as derivadas direcionais se anulam na origem. No entanto, para que f seja diferenciável em um ponto, todas as derivadas parciais devem existir e serem contínuas nesse ponto. No caso de f, a derivada parcial em relação a x é dada por: ∂f/∂x = Lim Δx → 0 [f(Δx, 0) - f(0, 0)] / Δx = Lim Δx → 0 [(Δx)³ / ((Δx)² + 0²)] / Δx = Lim Δx → 0 Δx³ / Δx² = Lim Δx → 0 Δx = 0 A derivada parcial em relação a y também é igual a 0. Portanto, todas as derivadas parciais existem e são contínuas na origem. Concluímos que todas as derivadas direcionais se anulam na origem, mas f não é diferenciável na origem.