Defina f : R2 → R pela regra f(x1, x2) = √(x21 + x2^2) sen(x22/x1) se x1 6= 0, 0 se x1 = 0. Mostre que f é cont́ınua na origem e que existem todas...

Para mostrar que a função f é contínua na origem, precisamos verificar se ela satisfaz a definição de continuidade. A definição de continuidade em um ponto (x0, y0) é que para qualquer ε > 0, existe um δ > 0 tal que se (x, y) está no domínio de f e |x - x0| < δ e |y - y0| < δ, então |f(x, y) - f(x0, y0)| < ε. No caso da função f(x1, x2) = √(x1^2 + x2^2) sen(x2^2/x1) se x1 ≠ 0, 0 se x1 = 0, vamos analisar a continuidade na origem (0, 0). Quando x1 = 0, temos f(0, x2) = 0 para qualquer valor de x2. Portanto, f(0, 0) = 0. Agora, vamos considerar o caso em que x1 ≠ 0. Nesse caso, podemos reescrever a função como f(x1, x2) = √(x1^2 + x2^2) sen(x2^2/x1) = g(x1, x2)h(x1, x2), onde g(x1, x2) = √(x1^2 + x2^2) e h(x1, x2) = sen(x2^2/x1). A função g(x1, x2) é a composição de funções contínuas (raiz quadrada e soma de quadrados), portanto, é contínua em todos os pontos do domínio, incluindo a origem. A função h(x1, x2) é a função seno de uma função que é contínua em todos os pontos do domínio, exceto quando x1 = 0. No entanto, quando x1 = 0, temos h(x1, x2) = 0. Portanto, h(x1, x2) é contínua em todos os pontos do domínio, incluindo a origem. Como g(x1, x2) e h(x1, x2) são funções contínuas em todos os pontos do domínio, a função f(x1, x2) = g(x1, x2)h(x1, x2) também é contínua em todos os pontos do domínio, incluindo a origem. Quanto à existência das derivadas direcionais de f na origem, podemos calcular as derivadas parciais de f em relação a x1 e x2 e verificar se elas existem na origem. Se existirem, então todas as derivadas direcionais também existirão. No entanto, para determinar se f é diferenciável na origem, precisaríamos verificar se as derivadas parciais são contínuas na origem. Isso exigiria uma análise mais detalhada das derivadas parciais de f.