(d) y′′′′ + 4y′′′ + 3y = t; y1(t) = t3 , y2(t) = e−t + t3

Para resolver essa equação diferencial, podemos usar o método de coeficientes a determinar. Primeiro, vamos encontrar a solução homogênea da equação, que é a solução da equação sem o termo t. A equação homogênea correspondente é dada por: (d) y′′′′ + 4y′′′ + 3y = 0 Podemos assumir uma solução da forma y(t) = e^(rt), onde r é uma constante a ser determinada. Substituindo essa solução na equação homogênea, obtemos a seguinte equação característica: r^4 + 4r^3 + 3 = 0 Resolvendo essa equação, encontramos os seguintes valores para r: r1 = -1, r2 = -1, r3 = -1 e r4 = -3. Portanto, a solução homogênea é dada por: y_h(t) = c1e^(-t) + c2te^(-t) + c3t^2e^(-t) + c4e^(-3t) Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa, considerando o termo t. Podemos tentar uma solução particular da forma y_p(t) = At^3, onde A é uma constante a ser determinada. Substituindo essa solução na equação completa, obtemos: 12A + 4(6A) + 3At^3 = t Simplificando, encontramos A = 1/3. Portanto, uma solução particular é dada por: y_p(t) = (1/3)t^3 A solução geral da equação completa é dada pela soma da solução homogênea e da solução particular: y(t) = y_h(t) + y_p(t) = c1e^(-t) + c2te^(-t) + c3t^2e^(-t) + c4e^(-3t) + (1/3)t^3 Essa é a solução geral da equação diferencial dada.