(e) 2t2y′′ + 3ty′ − y = 0, t > 0; y1(t) = t1/2 , y2(t) = t−1

A equação diferencial dada é uma equação de Euler-Cauchy. Para resolvê-la, podemos assumir uma solução na forma de uma função potência, ou seja, y(t) = t^r. Substituindo essa solução na equação diferencial, temos: 2t^2r + 3t^r - t^r = 0 Agora, podemos dividir toda a equação por t^r para simplificar: 2t^2 + 3t - 1 = 0 Essa é uma equação quadrática em t. Podemos resolvê-la usando a fórmula quadrática: t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a) Substituindo os valores a = 2, b = 3 e c = -1, temos: t = (-3 ± √(3^2 - 4*2*(-1))) / (2*2) t = (-3 ± √(9 + 8)) / 4 t = (-3 ± √17) / 4 Portanto, as soluções gerais da equação diferencial são: y1(t) = t^((1 + √17)/4) y2(t) = t^((1 - √17)/4) Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.