Lista_4___C_lculo_III

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Cálculo III - EB301 A
Lista 4
Equações Diferenciais
Profa Elaine Cristina Catapani Poletti
Monitor Aluízio Augusto Rocha Pires
Classificação
Definição: Caso a equação diferencial apresente apenas derivadas simples, ela é dita uma
equação diferencial ordinária. Caso apresente derivadas parciais, ela é dita equação diferen-
cial parcial.
1. Classifique as seguintes ED’s em ordinárias ou parciais.
(a) L
d2Q(t)
dt2
+
dQ(t)
dt
+ 1CQ(t) = E(t)
(b)
dy(t)
dt
+ 2y(t) = 0
(c) α2 ∂u(x,t)
∂x2
= ∂u(x,t)∂t
(d) y′′′ − 3y′′ + 2y′ = 0
(e) a2uxx = utt
Linearidade e Ordem
Definição: A ordem da equação é dada pela derivada de maior índice da equação. Já
para determinar se uma ED é linear ou não, deve-se analisar a sua forma e, se ela for da
forma:
a0(t)y
(n) + a1(t)y
(n−1) + ...+ an(t)y = g(t)
Ela será linear se seguir a forma geral mostrada acima.
1
Ex: Linear
d2θ
dt2
+ gLθ = 0
Ex: Não-linear
d2θ
dt2
+ gL sin θ = 0
2. Determine a ordem da ED e diga se ela é linear ou não-linear.
(a) t2
d2y
dt2
+ t
dy
dt
+ 2y = sin t
(b) (1 + y2)
d2y
dt2
+ t
dy
dt
+ y = et
(c)
d4y
dt4
+
d3y
dt3
+
d2y
dt2
+
dy
dt
+ y = 1
(d)
dy
dt
+ ty2 = 0
(e)
d2y
dt2
+ sin (t+ y) = sin t
Testando Soluções
Definição: Para testar uma função como solução de uma ED basta trocá-la na equação
diferencial e resolver normalmente.
3. Verifique que cada função dada é uma solução da equação diferencial.
(a) y′′ − y = 0; y1(t) = et, y2(t) = cosh t
(b) y′′ + 2y′ − 3y = 0; y1(t) = e−3t, y2(t) = et
(c) ty′ − y = t2; y(t) = 3t+ t2
(d) y′′′′ + 4y′′′ + 3y = t; y1(t) = t3 , y2(t) = e
−t + t3
(e) 2t2y′′ + 3ty′ − y = 0, t > 0; y1(t) = t
1
2 , y2(t) = t
−1
Equações Separáveis
Definição: Uma equação diferencial pode ser escrita como:
M(x, y) +N(x, y) dydx = 0
2
Onde M e N são funções quaisquer de x e y. Caso M dependa apenas de x e N dependa
apenas de y temos:
M(x) +N(y) dydx = 0
Então, "multiplicando"por dx temos:
M(x)dx+N(y)dy = 0
E assim, a equação é dita separável, pois, caso se queira, os termos de cada variável
podem ser separados pela igualdade.
4. Resolva a EDO dada. (Obs: Não esqueça da constante de integração)
(a) y′ = x
2
y
(b) y′ = x
2
y(1+x3)
(c) y′ + y2 sinx = 0
(d) dydx =
x−e−x
y+ey
(e) dydx =
x2
1+y2
Referência: Boyce e Diprima, Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Con-
torno, 8aEd
3