Usando a regra da substituição, é correto afirmar que: ∫4x32+x4−−−−−√dx é igual a: a. 23(x4)3−−−−√+c b. 23x3−−√ c. 23(2+x4)3−−−−−−−√+c ...

Para resolver essa integral utilizando a regra da substituição, podemos fazer a seguinte substituição: u = 2 + x^4 Agora, vamos calcular du/dx para encontrar dx: du/dx = 4x^3 Dividindo ambos os lados por 4x^3, temos: dx = du / (4x^3) Substituindo na integral, temos: ∫(4x^3 + x^4)^(1/2) dx = ∫(u)^(1/2) * (du / (4x^3)) Agora, podemos simplificar a integral: ∫(u)^(1/2) * (du / (4x^3)) = (1/4) * ∫(u)^(1/2) * (1/x^3) du Agora, podemos integrar em relação a u: (1/4) * ∫(u)^(1/2) * (1/x^3) du = (1/4) * ∫u^(1/2) * u^(-3/4) du Utilizando as propriedades das potências, temos: (1/4) * ∫u^(1/2) * u^(-3/4) du = (1/4) * ∫u^(-1/4) du Integrando, temos: (1/4) * ∫u^(-1/4) du = (1/4) * (4/3) * u^(3/4) + C Substituindo u de volta, temos: (1/4) * (4/3) * (2 + x^4)^(3/4) + C Portanto, a resposta correta é a alternativa: c. 23(2+x^4)^(3/4) + C