3) A que taxa cresce o volume de uma esfera V=4/3 πr3, sabendo-se que o raio cresce à razão de 5 cm/s, no instante em que ele mede 10cm?

Para determinar a taxa de crescimento do volume da esfera, podemos utilizar a regra da cadeia da derivada. Primeiro, derivamos a fórmula do volume em relação ao tempo: V = (4/3)πr^3 Derivando ambos os lados em relação ao tempo (t), temos: dV/dt = d/dt[(4/3)πr^3] Agora, precisamos substituir o valor do raio (r) e sua taxa de crescimento (dr/dt) no instante em que ele mede 10 cm. No instante em que r = 10 cm, temos: dV/dt = d/dt[(4/3)π(10)^3] Agora, podemos calcular a taxa de crescimento do volume substituindo os valores na fórmula e resolvendo: dV/dt = (4/3)π(3)(10)^2(dr/dt) Sabendo que dr/dt = 5 cm/s, podemos substituir esse valor na fórmula: dV/dt = (4/3)π(3)(10)^2(5) Simplificando a expressão, temos: dV/dt = (4/3)π(3)(100)(5) dV/dt = (4/3)π(1500) dV/dt = 2000π cm^3/s Portanto, a taxa de crescimento do volume da esfera é de 2000π cm^3/s.

Para determinar a taxa de variação do volume de uma esfera em relação ao tempo, você pode usar o cálculo da derivada em relação ao tempo. A fórmula do volume de uma esfera é:

V = (4/3)πr^3

Onde:

• V é o volume da esfera.
• π (pi) é uma constante aproximadamente igual a 3,14159265359.
• r é o raio da esfera.

Para encontrar a taxa de crescimento do volume em relação ao tempo (dV/dt), você pode derivar a fórmula do volume em relação ao tempo (t), considerando que o raio (r) está mudando com o tempo:

dV/dt = (d/dt)((4/3)πr^3)

Agora, você sabe que o raio (r) está crescendo à razão de 5 cm/s quando o raio mede 10 cm. Isso significa que:

dr/dt = 5 cm/s quando r = 10 cm

Substituindo esses valores na equação da taxa de crescimento do volume:

dV/dt = (d/dt)((4/3)πr^3) = (4/3)π(d/dt)(r^3)

Agora, precisamos calcular (d/dt)(r^3), a derivada do raio em relação ao tempo:

(d/dt)(r^3) = 3r^2(dr/dt)

Substituindo os valores conhecidos:

(d/dt)(r^3) = 3(10 cm)^2(5 cm/s) = 1500 cm^3/s

Agora, podemos voltar à equação da taxa de crescimento do volume:

dV/dt = (4/3)π(1500 cm^3/s)

dV/dt = 2000π cm^3/s

Agora você tem a taxa de crescimento do volume em relação ao tempo:

dV/dt = 2000π cm^3/s

Para calcular o valor numérico, basta multiplicar por π:

dV/dt ≈ 6283,2 cm^3/s

Portanto, a taxa de crescimento do volume da esfera é de aproximadamente 6283,2 cm^3/s quando o raio mede 10 cm e está crescendo a uma taxa de 5 cm/s.