Ao resolver o seguinte problema do valor inicial y'-y=2xy' - y=2xe2x, y(0) = 1, temos como solução: A) y=3ex+2(x-1)e2x B) y=3ex+3(x-1)e3x C) y=3...

Para resolver esse problema, podemos usar o método de separação de variáveis. Vamos começar diferenciando a equação em relação a x: y' - y = 2xy' - y = 2xe^(2x). Agora, vamos agrupar os termos que possuem y' e y: (2x - 1)y' - y = 2xe^(2x). Agora, vamos isolar y' multiplicando toda a equação por dx: (2x - 1)y' dx - y dx = 2xe^(2x) dx. Agora, vamos integrar ambos os lados da equação: ∫(2x - 1)y' dx - ∫y dx = ∫2xe^(2x) dx. Integrando, temos: (2x - 1)y - ∫y dx = ∫2xe^(2x) dx. Agora, vamos resolver as integrais: (2x - 1)y - y = ∫2xe^(2x) dx. Simplificando, temos: (2x - 2)y = ∫2xe^(2x) dx. Dividindo ambos os lados por (2x - 2), temos: y = ∫2xe^(2x) dx / (2x - 2). Agora, vamos resolver a integral do lado direito: y = ∫2xe^(2x) dx / (2x - 2). Podemos fazer uma substituição u = 2x, então du = 2 dx: y = ∫ue^u du / (u - 2). Agora, vamos usar a regra do quociente para resolver a integral: y = ∫(u / (u - 2)) e^u du. Podemos usar a técnica de integração por partes para resolver essa integral: y = ∫(u / (u - 2)) e^u du. Fazendo a integração por partes, temos: y = u * ln|u - 2| - ∫ln|u - 2| du. Agora, vamos resolver a integral restante: y = u * ln|u - 2| - ∫ln|u - 2| du. Podemos fazer uma substituição v = u - 2, então dv = du: y = (v + 2) * ln|v| - ∫ln|v| dv. Agora, vamos resolver a integral do lado direito: y = (v + 2) * ln|v| - ∫ln|v| dv. A integral ∫ln|v| dv pode ser resolvida por partes novamente: y = (v + 2) * ln|v| - (v * ln|v| - ∫v / v dv). Simplificando, temos: y = (v + 2) * ln|v| - (v * ln|v| - ∫dv). Agora, vamos resolver a integral restante: y = (v + 2) * ln|v| - (v * ln|v| - v). Substituindo v por u - 2, temos: y = (u - 2 + 2) * ln|u - 2| - (u - 2) * ln|u - 2| + (u - 2). Simplificando, temos: y = u * ln|u - 2| - (u - 2) * ln|u - 2| + (u - 2). Substituindo u por 2x, temos: y = 2x * ln|2x - 2| - (2x - 2) * ln|2x - 2| + (2x - 2). Simplificando, temos: y = 2x * ln|2(x - 1)| - 2(x - 1) * ln|2(x - 1)| + 2(x - 1). Portanto, a solução do problema do valor inicial é: y = 2x * ln|2(x - 1)| - 2(x - 1) * ln|2(x - 1)| + 2(x - 1). A resposta correta é a alternativa A) y = 3ex + 2(x - 1)e2x.