Seja f:R3→R�:�3→� definida por f(x,y,z)=x+3y2+z�(�,�,�)=�+3�2+� e τ� o segmento de reta que une (0,0,0)(0,0,0) e (1,1,1)(1,1,1). Calcule ∫τfds∫��...

Para calcular a integral ∫τfds∫����, onde f(x,y,z)=x+3y^2+z^3 e τ é o segmento de reta que une (0,0,0) e (1,1,1), podemos utilizar a parametrização do segmento de reta. A parametrização do segmento de reta é dada por r(t) = (t,t,t), onde t varia de 0 a 1. Substituindo essa parametrização na função f(x,y,z), temos: f(r(t)) = f(t,t,t) = t + 3t^2 + t^3 Agora, vamos calcular a integral ∫τfds∫���� utilizando essa parametrização: ∫τfds∫���� = ∫[0,1] (t + 3t^2 + t^3) ||r'(t)|| dt O vetor r'(t) é dado por r'(t) = (1,1,1), que tem norma ||r'(t)|| = √3. Substituindo na integral, temos: ∫τfds∫���� = ∫[0,1] (t + 3t^2 + t^3) √3 dt Integrando termo a termo, temos: ∫τfds∫���� = √3 * [t^2/2 + t^3/3 + t^4/4] de 0 a 1 Agora, substituindo os limites de integração, temos: ∫τfds∫���� = √3 * [(1^2/2 + 1^3/3 + 1^4/4) - (0^2/2 + 0^3/3 + 0^4/4)] Simplificando, temos: ∫τfds∫���� = √3 * (1/2 + 1/3 + 1/4) Calculando essa expressão, encontramos: ∫τfds∫���� ≈ 2,598 Portanto, a resposta correta é √33.