Para determinar a posição relativa entre as duas circunferências dadas, precisamos primeiro reescrever as equações na forma padrão de uma circunferência, que é \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\), onde \((h, k)\) é o centro e \(r\) é o raio. 1. Primeira circunferência: A equação é \(x^2 + y^2 + 4x - 6y - 3 = 0\). Reorganizando: \[ x^2 + 4x + y^2 - 6y = 3 \] Completar o quadrado para \(x\) e \(y\): \[ (x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = 3 + 4 + 9 \] \[ (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 16 \] Assim, a primeira circunferência tem centro \((-2, 3)\) e raio \(r_1 = 4\). 2. Segunda circunferência: A equação é \(x^2 + y^2 - 8x - 4y - 5 = 0\). Reorganizando: \[ x^2 - 8x + y^2 - 4y = 5 \] Completar o quadrado para \(x\) e \(y\): \[ (x^2 - 8x + 16) + (y^2 - 4y + 4) = 5 + 16 + 4 \] \[ (x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 25 \] Assim, a segunda circunferência tem centro \((4, 2)\) e raio \(r_2 = 5\). 3. Distância entre os centros: Agora, vamos calcular a distância entre os centros das circunferências: \[ d = \sqrt{((-2) - 4)^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (1)^2} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37} \] 4. Análise das posições relativas: - A soma dos raios: \(r_1 + r_2 = 4 + 5 = 9\) - A diferença dos raios: \(|r_1 - r_2| = |4 - 5| = 1\) Agora, comparamos a distância \(d\) com a soma e a diferença dos raios: - Se \(d < |r_1 - r_2|\), as circunferências são internas. - Se \(d = |r_1 - r_2|\), as circunferências são tangentes internas. - Se \(|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2\), as circunferências são secantes. - Se \(d = r_1 + r_2\), as circunferências são tangentes externas. - Se \(d > r_1 + r_2\), as circunferências são externas. Neste caso: \[ \sqrt{37} \approx 6.08 \quad \text{e} \quad 1 < \sqrt{37} < 9 \] Portanto, as circunferências são secantes.