(5) Determine todos os valores de λ para os quais o paralelepípedo gerado pelos vetores −→u = (3, λ, 1), −→v = (4, 1, 0) e −→w = (5, 0, −2) tem vol...

Para determinar os valores de λ para os quais o paralelepípedo tem volume igual a 5 unidades de volume, podemos usar a fórmula do volume do paralelepípedo. O volume de um paralelepípedo gerado pelos vetores u, v e w é dado pelo valor absoluto do produto escalar entre esses vetores: V = |u · (v x w)| Onde · representa o produto escalar e x representa o produto vetorial. Substituindo os valores dos vetores u, v e w, temos: V = |(3, λ, 1) · ((4, 1, 0) x (5, 0, -2))| Calculando o produto vetorial ((4, 1, 0) x (5, 0, -2)), obtemos: (4, 1, 0) x (5, 0, -2) = (2, 18, -5) Substituindo esse valor na fórmula do volume, temos: V = |(3, λ, 1) · (2, 18, -5)| Calculando o produto escalar, temos: (3, λ, 1) · (2, 18, -5) = 6 + 18λ - 5 = 18λ + 1 Agora, igualamos o volume a 5 unidades de volume e resolvemos a equação: |18λ + 1| = 5 18λ + 1 = 5 ou 18λ + 1 = -5 18λ = 4 ou 18λ = -6 λ = 4/18 ou λ = -6/18 Simplificando as frações, temos: λ = 2/9 ou λ = -1/3 Portanto, os valores de λ para os quais o paralelepípedo tem volume igual a 5 unidades de volume são λ = 2/9 e λ = -1/3.