16 (FGV-SP) Considere o sistema linear nas incógnitas x, y e z: a) Para que valores de m o sistema é determinado? b) Resolva o sistema para m = 0.

a) O sistema será determinado quando o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero. Portanto, devemos calcular o determinante da matriz: | 1 2 3 | | 2 4 6 | | 3 6 m | Calculando o determinante, temos: det = 1*(4*m - 6*6) - 2*(2*m - 3*6) + 3*(2*6 - 3*4) det = 4m - 36 - 4m + 36 + 36 - 36 det = 0 Portanto, o sistema será determinado para qualquer valor de m. b) Para m = 0, temos o seguinte sistema: | 1 2 3 | | x | | 0 | | 2 4 6 | * | y | = | 0 | | 3 6 0 | | z | | 0 | Podemos simplificar a segunda linha dividindo-a por 2: | 1 2 3 | | x | | 0 | | 1 2 3 | * | y | = | 0 | | 3 6 0 | | z | | 0 | Agora, subtraindo a primeira linha da segunda linha, obtemos: | 1 2 3 | | x | | 0 | | 0 0 0 | * | y | = | 0 | | 3 6 0 | | z | | 0 | Isso nos mostra que a variável y é uma variável livre, ou seja, pode assumir qualquer valor. As variáveis x e z são dependentes de y e devem ser expressas em função dela. Portanto, a solução do sistema para m = 0 é: x = -2y y = y (variável livre) z = -3y Assim, a solução do sistema para m = 0 é x = -2y, y = y e z = -3y, onde y é uma variável livre.