Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear sobre base de autovetores, considere a transformação T:R2→R2...

Para encontrar a base de autovetores da matriz de transformação [T], precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Começando com o autovalor λ1=1, precisamos encontrar o vetor x que satisfaz a equação [T]x = λ1x. Substituindo os valores, temos: [T]x = λ1x ⇔ [T]x - λ1x = 0 ⇔ ([T] - λ1I)x = 0 ⇔ ⎡⎣−3 4 −1 2⎤⎦ ⎡⎣x1 x2⎤⎦ - ⎡⎣1 0 0 1⎤⎦ ⎡⎣x1 x2⎤⎦ = ⎡⎣0 0⎤⎦ ⇔ ⎡⎣-4 4 -1 1⎤⎦ ⎡⎣x1 x2⎤⎦ = ⎡⎣0 0⎤⎦ Resolvendo o sistema, obtemos x1 = x2. Portanto, o autovetor correspondente a λ1=1 é um múltiplo de (1,1). Agora, para o autovalor λ2=-2, precisamos encontrar o vetor x que satisfaz a equação [T]x = λ2x. Substituindo os valores, temos: [T]x = λ2x ⇔ [T]x - λ2x = 0 ⇔ ([T] - λ2I)x = 0 ⇔ ⎡⎣−3 4 −1 2⎤⎦ ⎡⎣x1 x2⎤⎦ - ⎡⎣-2 0 0 -2⎤⎦ ⎡⎣x1 x2⎤⎦ = ⎡⎣0 0⎤⎦ ⇔ ⎡⎣-1 4 -1 4⎤⎦ ⎡⎣x1 x2⎤⎦ = ⎡⎣0 0⎤⎦ Resolvendo o sistema, obtemos x1 = 4x2. Portanto, o autovetor correspondente a λ2=-2 é um múltiplo de (4,1). Assim, a base de autovetores da matriz de transformação [T] é dada pela opção B: {(-1,1),(2,1)}.