Resolva, se possível: a) 1− x 1− |2x| = 0 b) |x| x2 − 1 = 2− |x| x2 − 1 c) ||x + 3| − |x + 1|| = 0 d) ∣∣∣∣ |x| − 1 1− x ∣∣∣∣ = |x| − 1 1− x e) |x|...

a) Para resolver a equação, precisamos isolar o valor absoluto. Então, temos: 1 - x = 1 - |2x| -x = -|2x| x = |2x| Agora, precisamos analisar dois casos: quando x é positivo e quando x é negativo. Quando x é positivo, temos: x = 2x x = 0 Quando x é negativo, temos: -x = -2x x = 0 Portanto, a solução da equação é x = 0. b) Para resolver a equação, precisamos isolar o valor absoluto. Então, temos: |x|/(x² - 1) = (2 - |x|)/(x² - 1) Multiplicando ambos os lados por x² - 1, temos: |x| = (2 - |x|) Analisando dois casos: quando x é positivo e quando x é negativo. Quando x é positivo, temos: x = 2 - x 2x = 2 x = 1 Quando x é negativo, temos: -x = 2 + x 2x = -2 x = -1 Portanto, as soluções da equação são x = 1 e x = -1. c) Para que a expressão seja igual a zero, precisamos que ||x + 3| - |x + 1|| seja igual a zero. Isso só acontece quando x + 3 e x + 1 têm o mesmo sinal. Portanto, temos duas soluções: x + 3 > 0 e x + 1 > 0 x > -3 e x > -1 x > -1 ou x + 3 < 0 e x + 1 < 0 x < -3 e x < -1 x < -3 Portanto, as soluções da equação são x < -3 ou x > -1. d) Para resolver a equação, precisamos isolar o valor absoluto. Então, temos: | |x| - 1 | / (1 - x) = |x| - 1 / (1 - x) Analisando dois casos: quando x é positivo e quando x é negativo. Quando x é positivo, temos: |x| - 1 = x - 1 |x| = x x = 0 ou x = 1 Quando x é negativo, temos: |x| - 1 = -x - 1 |x| = -x + 1 2|x| = 1 - x 2x = 1 - x x = 1/3 Portanto, as soluções da equação são x = 0, x = 1 e x = 1/3. e) Para que a expressão seja menor ou igual a zero, precisamos que ambos os termos sejam negativos ou que ambos os termos sejam iguais a zero. Portanto, temos duas soluções: |x| + 3 ≤ 0 e |x| - 3 ≤ 0 |x| ≤ -3 e |x| ≤ 3 Não há solução para a primeira inequação, pois o valor absoluto de qualquer número é sempre maior ou igual a zero. A solução da segunda inequação é -3 ≤ x ≤ 3. f) Para que a expressão seja menor que zero, precisamos que |x| - √2 seja negativo e que |x| - 3 seja negativo. Portanto, temos uma solução: |x| < √2 e |x| < 3 -x < √2 e x < 3 -x < √2 e -x < -3 -x < √2 e x > 3 (multiplicando ambos os lados por -1) x < -√2 e x > 3 Portanto, não há solução para a inequação.