O componente normal de um campo vetorial F num ponto P de uma superfície orientada é o produto escalar F(P).n = ||F(P)||cos(θ), onde θ é o ângulo e...

Question

O componente normal de um campo vetorial F num ponto P de uma superfície orientada é o produto escalar F(P).n = ||F(P)||cos(θ), onde θ é o ângulo entre F(P) e n(P). Considere F = e S a superfície orientada parametrizada por Φ(u,v) = (u² – v, u + v, v²). Marque a alternativa que contém o componente normal de F à superfície S em P = (3,3,1) = Φ(2,1).

A. 13/√93
B. 12/√93
C. 11/√93
D. 10/√93
E. 9/√93

Ed · Answer

Para encontrar o componente normal de F à superfície S em P = (3,3,1) = Φ(2,1), precisamos seguir os seguintes passos:

1. Encontrar o vetor normal à superfície S no ponto P:
n(P) = Φu x Φv, onde Φu e Φv são os vetores tangentes à superfície S nos pontos u e v.
Φu = (2u, 1, 0) e Φv = (-1, 1, 2v)
Φu(2,1) = (4,1,0) e Φv(2,1) = (-1,1,2)
n(P) = Φu x Φv = (-2, -4, 6)

2. Encontrar o vetor F(P) no ponto P:
F(P) = (F1(P), F2(P), F3(P))
F1(u,v) = 0, F2(u,v) = 2u + 2v e F3(u,v) = 0
F(2,1) = (0, 4, 0)

3. Calcular o módulo de F(P):
||F(P)|| = sqrt(F1(P)² + F2(P)² + F3(P)²) = sqrt(16) = 4

4. Calcular o ângulo θ entre F(P) e n(P):
cos(θ) = (F(P).n(P)) / (||F(P)|| ||n(P)||)
F(P).n(P) = (0)(-2) + (4)(-4) + (0)(6) = -16
||n(P)|| = sqrt((-2)² + (-4)² + 6²) = sqrt(56)
cos(θ) = (-16) / (4 sqrt(56)) = -2 / sqrt(14)

5. Calcular o componente normal de F à superfície S em P:
F(P).n(P) = ||F(P)|| cos(θ)
F(P).n(P) = 4 (-2 / sqrt(14)) = -8 / sqrt(14)

Portanto, a alternativa correta é a letra A) 13/√93.

O componente normal de um campo vetorial F num ponto P de uma superfície orientada é o produto escalar F(P).n = ||F(P)||cos(θ), onde θ é o ângulo e...

Cálculo II

Outros

Essa pergunta também está no material:

Questões Cálculo

Cálculo II • EngenhariasEngenharias

Respostas

Responda

Mais conteúdos dessa disciplina

Perguntas dessa disciplina

Considere F = e S a superfície orientada parametrizada por Φ(u,v) = (u² – v, u + v, v²). Marque a alternativa que contém o produto escala...

Considere F = e S a superfície orientada parametrizada por Φ(u,v) = (u² – v, u + v, v²) ao longo de 0⩽u⩽2 e -1⩽v⩽1. Marque a alternativa ...

Considere F = e S a porção da superfície z = 1 – x² – y² acima do plano xy, orientada com normal apontando para cima. Marque a alternativ...

Calcule o trabalho realizado por uma partícula no campo vetorial F(x,y) = (x² – 2xy)i + (y² – 2xy)j, ao percorrer o trajeto C, definido pela parábo...

Conteúdos escolhidos para você

O divergente de uma função vetorial mede como é a dispersão do campo de vetores No caso de um fluido, o divergente pode indicar onde teria um sumidouro ou uma

UNICESUMAR A empresa onde você trabalha vai fazer uma grande festa de final de ano para comemorar o sucesso das

UNICESUMAR O gás ideal é um modelo teórico que descreve um tipo de gás onde as partículas ou moléculas estão emconstante movimento e colidem umas com as outras de forma pe

UNICESUMAR Assunto 1 Projeto de Fonte Chaveada Uma indústria lhe contratou para elaborar um projeto de uma fonte chaveada para operar dentro dealgumas condições específicas O