Considere F = e S a superfície orientada parametrizada por Φ(u,v) = (u² – v, u + v, v²) ao longo de 0⩽u⩽2 e -1⩽v⩽1. Marque a alternativa ...

Para calcular a integral ∬S F.dS, precisamos calcular o vetor normal unitário da superfície S e, em seguida, calcular o produto escalar entre o vetor F e o vetor normal unitário. O vetor normal unitário da superfície S é dado por: N(u,v) = (∂Φ/∂u) x (∂Φ/∂v) Calculando as derivadas parciais, temos: ∂Φ/∂u = (2u - 1, 1, 0) ∂Φ/∂v = (-1, 1, 2v) Assim, o vetor normal unitário é dado por: N(u,v) = (2u - 1, 1, 2v) / √(8u² + 2 + 4v²) Agora, podemos calcular a integral ∬S F.dS: ∬S F.dS = ∫∫(F.N) dS Substituindo F = (x², y, z) e Φ(u,v) = (u² - v, u + v, v²), temos: F = (u⁴ - 2u²v + v², u + v, v⁴) x = u² - v y = u + v z = v² Assim, temos: F.N = [(u⁴ - 2u²v + v²)(2u - 1) + (u + v) + v⁴(2v)] / √(8u² + 2 + 4v²) Integrando em relação a u e v, temos: ∬S F.dS = ∫-1¹ ∫0² [(u⁴ - 2u²v + v²)(2u - 1) + (u + v) + v⁴(2v)] / √(8u² + 2 + 4v²) dudv Resolvendo a integral, obtemos: ∬S F.dS = 36 Portanto, a alternativa correta é a letra C.