Considere F = e S a porção da superfície z = 1 – x² – y² acima do plano xy, orientada com normal apontando para cima. Marque a alternativ...

Para calcular o fluxo do campo vetorial F através da superfície S, podemos utilizar o Teorema da Divergência de Gauss. Assim, temos que: div(F) = ∂Fx/∂x + ∂Fy/∂y + ∂Fz/∂z Calculando as derivadas parciais, temos: ∂Fx/∂x = 0 ∂Fy/∂y = 0 ∂Fz/∂z = 2z = 2(1 - x² - y²) Logo, temos que: div(F) = 2(1 - x² - y²) Agora, podemos calcular o fluxo através de S: ∫∫S F . dS = ∫∫∫V div(F) dV Onde V é o volume delimitado pela superfície S e dV é o elemento de volume. Como a superfície S é a porção da superfície z = 1 - x² - y² acima do plano xy, temos que o volume V é o sólido delimitado pela superfície S e pelo plano xy. Assim, temos que: ∫∫S F . dS = ∫∫∫V div(F) dV ∫∫S F . dS = ∫∫∫V 2(1 - x² - y²) dV Podemos calcular o volume V integrando em relação a z: ∫∫∫V 2(1 - x² - y²) dV = ∫-1¹ ∫-√(1-z)√(1-z) ∫-√(1-x²-y²)√(1-x²-y²) 2(1 - x² - y²) dz dy dx Realizando as integrações, obtemos: ∫∫S F . dS = 2π Portanto, a alternativa correta é a letra A) π.