Retas reversas possuem um valor de distância mínima. Qual é a distância entre as retas reversas a seguir? r: x=2-t , y=3+t , z=1-2t s: x=t , y=-1-3...

Para encontrar a distância entre duas retas reversas, podemos utilizar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta. Primeiro, escolhemos um ponto em uma das retas e, em seguida, encontramos a projeção desse ponto na outra reta. A distância entre o ponto e a reta é a distância entre o ponto e sua projeção. Podemos escolher o ponto P(2, 3, 1) na reta r. Para encontrar a projeção desse ponto na reta s, precisamos encontrar um vetor diretor da reta s e um vetor que ligue um ponto da reta s ao ponto P. Um vetor diretor da reta s é o vetor v(1, -3, 2), que é paralelo à reta s. Um vetor que liga um ponto da reta s ao ponto P é o vetor u(2-t, 4-3t, 1+2t) - (2, 3, 1) = (-t, 1-3t, 2t). A projeção do vetor u no vetor v é dada por: projv(u) = ((u . v) / (v . v)) * v onde "." representa o produto escalar. Temos: u . v = (-t) + (-3) * (1-3t) + 2 * 2t = -10t + 3 v . v = 1 + 9 + 4 = 14 Portanto: projv(u) = ((-10t + 3) / 14) * (1, -3, 2) = ((-10t + 3) / 14, (30t - 9) / 14, (-20t + 6) / 14) A distância entre o ponto P e sua projeção na reta s é a norma do vetor u - projv(u): d = ||u - projv(u)|| = ||(t, -1+3t, -2t) - ((-10t+3)/14, (30t-9)/14, (-20t+6)/14)|| d = ||((24t+3)/14, (-44t+11)/14, (18t-5)/7)|| = sqrt((24t+3)² + (-44t+11)² + (18t-5)²) / 14 Para encontrar o valor de t que minimiza a distância d, podemos derivar d em relação a t e igualar a zero: d' = (1/14) * (1/2) * (24t+3) * (2*24) + (1/14) * (1/2) * (-44t+11) * (-44) + (1/7) * (1/2) * (18t-5) * 18 = 0 Resolvendo para t, obtemos: t = 11/24 Substituindo esse valor na expressão para d, obtemos: d = sqrt(3/8) = sqrt(3)/2 * sqrt(1/4) = sqrt(3)/2 * 1/2 = sqrt(3)/4 Portanto, a alternativa correta é a letra E) √3/5.