Para calcular a distância entre duas retas reversas, podemos usar a fórmula da distância entre retas no espaço. As retas dadas são: r: \( x = 2 - t, y = 3 + t, z = 1 - 2t \) s: \( x = t, y = -1 - 3t, z = 2t \) Primeiro, precisamos encontrar um ponto em cada reta e o vetor diretor de cada uma. 1. Ponto na reta r: Quando \( t = 0 \), temos o ponto \( P(2, 3, 1) \). 2. Ponto na reta s: Quando \( t = 0 \), temos o ponto \( Q(0, -1, 0) \). 3. Vetores diretores: - Para a reta r: \( \vec{v_r} = (-1, 1, -2) \) - Para a reta s: \( \vec{v_s} = (1, -3, 2) \) 4. Vetor entre os pontos P e Q: \( \vec{PQ} = Q - P = (0 - 2, -1 - 3, 0 - 1) = (-2, -4, -1) \) 5. Cálculo da distância: A distância \( d \) entre as retas é dada pela fórmula: \[ d = \frac{|(\vec{PQ} \cdot (\vec{v_r} \times \vec{v_s}))|}{|\vec{v_r} \times \vec{v_s}|} \] Calculando o produto vetorial \( \vec{v_r} \times \vec{v_s} \): \[ \vec{v_r} \times \vec{v_s} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 \cdot 2 - (-2)(-3)) - \hat{j}(-1 \cdot 2 - (-2)(1)) + \hat{k}(-1 \cdot -3 - 1 \cdot 1) \] Calculando cada componente: - \( \hat{i}(2 - 6) = -4\hat{i} \) - \( -\hat{j}(-2 + 2) = 0\hat{j} \) - \( \hat{k}(3 - 1) = 2\hat{k} \) Portanto, \( \vec{v_r} \times \vec{v_s} = (-4, 0, 2) \). Agora, calculamos o módulo desse vetor: \[ |\vec{v_r} \times \vec{v_s}| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 0 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] Agora, calculamos o produto escalar \( \vec{PQ} \cdot (\vec{v_r} \times \vec{v_s}) \): \[ \vec{PQ} \cdot (-4, 0, 2) = (-2)(-4) + (-4)(0) + (-1)(2) = 8 + 0 - 2 = 6 \] Finalmente, substituímos na fórmula da distância: \[ d = \frac{|6|}{2\sqrt{5}} = \frac{6}{2\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5} \] Portanto, a resposta correta é a alternativa C) \(\frac{3\sqrt{5}}{5}\).