A distância entre ponto e reta é obtida pelo processo de projeção de vetores no espaço. Qual é a distância entre o ponto P(2,3,-1) e a reta r: x=3+...

Para encontrar a distância entre um ponto e uma reta no espaço, precisamos projetar o vetor que liga o ponto à reta no vetor diretor da reta. Primeiro, encontramos um ponto qualquer na reta, por exemplo, quando t = 0, temos o ponto (3, 0, 1). Em seguida, calculamos o vetor diretor da reta, que é dado por (1, -2, -2). Agora, podemos calcular o vetor que liga o ponto P à reta, que é dado por (2-3t, 3+2t, -1-2t) - (3, 0, 1) = (-t, 3+2t, -2-t). Em seguida, projetamos esse vetor no vetor diretor da reta: proj = ((-t, 3+2t, -2-t) . (1, -2, -2)) / ||(1, -2, -2)||^2 * (1, -2, -2) onde . representa o produto escalar e || || representa a norma do vetor. Fazendo as contas, temos: proj = (-5t-1, 10t+2, 10t+2) / 9 A distância entre o ponto P e a reta r é dada pela norma do vetor que liga o ponto P à sua projeção na reta: dist = ||(-t, 3+2t, -2-t) - proj|| Substituindo o valor de proj, temos: dist = ||(-4t+1, -7t-1, -4t-3)|| Calculando a norma desse vetor, temos: dist = sqrt(66t^2 + 34t + 11) Para encontrar o valor de t que minimiza a distância, podemos derivar a expressão acima em relação a t e igualar a zero: d(dist)/dt = (132t + 34) / (2sqrt(66t^2 + 34t + 11)) = 0 Resolvendo para t, encontramos t = -17/33. Substituindo esse valor na expressão da distância, temos: dist = sqrt(113/3) Portanto, a alternativa correta é a letra E).