É verdade que: “ Se f é diferenciável em (x0, y0) então f tem derivadas parciais contínuas em (x0, y0)?” Se verdadeiro, prove. Se falso, dê um cont...

A afirmação é verdadeira. Se f é diferenciável em (x0, y0), então f tem derivadas parciais contínuas em (x0, y0). Prova: Seja h > 0, então temos que: f(x0 + h, y0) - f(x0, y0) = ∂f/∂x(x0, y0) * h + ε1(h) Onde ε1(h) é o erro da aproximação de f(x0 + h, y0) - f(x0, y0) por meio da derivada parcial ∂f/∂x(x0, y0) * h. Agora, seja k > 0, então temos que: f(x0, y0 + k) - f(x0, y0) = ∂f/∂y(x0, y0) * k + ε2(k) Onde ε2(k) é o erro da aproximação de f(x0, y0 + k) - f(x0, y0) por meio da derivada parcial ∂f/∂y(x0, y0) * k. Como f é diferenciável em (x0, y0), então temos que: lim h->0 ε1(h)/h = 0 e lim k->0 ε2(k)/k = 0 Assim, podemos escrever: ∂f/∂x(x0, y0) = lim h->0 [f(x0 + h, y0) - f(x0, y0)]/h ∂f/∂y(x0, y0) = lim k->0 [f(x0, y0 + k) - f(x0, y0)]/k Como os limites acima existem, então as derivadas parciais ∂f/∂x(x0, y0) e ∂f/∂y(x0, y0) existem e são finitas. Além disso, temos que: ∂f/∂x(x0, y0) = lim h->0 [f(x0 + h, y0) - f(x0, y0)]/h = ∂f/∂x(x0, y0) ∂f/∂y(x0, y0) = lim k->0 [f(x0, y0 + k) - f(x0, y0)]/k = ∂f/∂y(x0, y0) Portanto, as derivadas parciais ∂f/∂x(x0, y0) e ∂f/∂y(x0, y0) são contínuas em (x0, y0). Logo, a afirmação é verdadeira. Obs: A demonstração acima é uma das possíveis formas de provar a afirmação.