Questão resolvida - Determine a equação da reta tangente à elipse de equação 25x^2 64y^2 - 256y 1344, no ponto P(x0, y0) dessa ... - Cálculo I - Colégio Vygotsky

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Determine a equação da reta tangente à elipse de equação 
, no ponto dessa elipse de abscissa e 25x + 64y - 256y = 13442 2 P x , y( 0 0) x = 40
ordenada .y > 00
 
Resolução:
 
 A reta tangente a uma curva é dada por: y = f' x x + b( 0)
Assim, primeiro, vamos achar a derivada , usando a equação da elipse, fazendo uma f' x( )
derivação ímplicita;
 
25x + 64y - 256y = 1344 25 ⋅ 2x + 64 ⋅ 2y ⋅ y' - 256 ⋅ y' = 0
d
dx
2 2
→
Agora, vamos isolar o termo que é justamente a derivada ;y' f' x( )
 
25 ⋅ 2x + 64 ⋅ 2y ⋅ y' - 256 ⋅ y' = 0 50x + 128yy' - 256y' = 0→
 
128yy' - 256y' = -50x y' 128y - 256 = - 50x y' =→ ( ) →
-50x
128y - 256
 
y' = f' x =⏫⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪ o denominador por 2 ( )
-25x
64y - 128
Vamos, então, encontrar oponto de tangência. O foi dado e é igual a 4, x , y( 0 0) x0
substituindo na equação da elipse, fica;
 
25 4 + 64y - 256y = 1344 25 ⋅ 16 + 64y - 256y = 1344 400 + 64y - 256y = 1344( )2 2 → 2 → 2
 
64y - 256y + 400 - 1344 = 0 64y - 256y - 944 = 0 ÷ 8→ 2 → 2
8y - 32y - 118 = 0→ 2
Temos uma equação do segundo grau, assim, para achar a ordenada y de tangência da 
reta, vamos resolvê-la;
 
8y - 32y - 118 = 02
 
y =
- -32 ±
2 ⋅ 8
( ) -32 - 4 ⋅ 8 ⋅ -118( )2 ( )
 
 
Dividindo o numerador e
y' = = = =→
32 +
16
1024 + 3776 32 +
16
4800 32 +
16
64 ⋅ 25 ⋅ 3 32 + 8 ⋅ 5
16
3
= 8 ⋅ = 
4 + 5
16
3 4 + 5
2
3
 
Como o enunciado pede apenas o valor possitivo, vamos calcular apenas e considerá-lo y'
como a ordenada . Temos, assim, o par ordenado de tangência;y0
 
x , y = 4,( 0 0)
4 + 5
2
3
Substituindo em , encontramos o valor do coeficiente angular;f' x( )
 
f' x = f' x , y = = =( 0) ( 0 0)
-25 ⋅ 4
64 - 128
4+5
2
3
-100
32 4 + 5 - 1283
-100
128 + 160 - 1283
 
f' x = f' x = -( 0)
-100
160 3
⏫⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪ o denominador por 20 ( 0)
5
8 3
 
Assim, a "cara" da equação da reta tangente fica;
 
y = - x + b
5
8 3
Dessa vez, para achar o coeficiente linar b da reta tangente, vamos substituir o ponto de 
tangência na equação da reta tangente;x , y = 4,( 0 0)
4 + 5
2
3
 
= - ⋅ 4 + b - + b = b = +
4 + 5
2
3 5
8 3
→
5
2 3
4 + 5
2
3
→
4 + 5
2
3 5
2 3
 
b = = = =→
4 + 5 + 5
2
3 3
3
4 + 5 + 5
2
3 3
2
3
4 + 5 3 + 5
2
3 ( )
3
4 + 15 + 5
2
3
3
 
 
 
Dividindo o numerador e
b = =
4 + 15 + 5
2
3
3
4 + 20
2
3
3
⏫⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪ o denominador por 2 
2 + 103
3
 
b = ⋅ = = =⏫⏪⏪⏪⏪⏪o denominador
2 + 103
3
3
3
2 + 103 3
3
2
2 + 10
3
3
2
3 2 ⋅ 3 + 10
3
3
 
b =
6 + 10
3
3
Finalmente, a reta tangente à elipse no ponto de tangência é:4,
4 + 5
2
3
 
y = - x+
5
8 3
6+ 10
3
3
 
 
Dividindo o numerador e
Racionalizando
(Resposta)