7) Se )yx(fw 22 += , mostre que 0 y w x x w y =      ∂ ∂ −      ∂ ∂ . Mostre que 0 y w x x w y =      ∂ ∂ −  ...

Para resolver essa questão, precisamos utilizar a regra da cadeia da derivada. Começando pela primeira parte da equação: )yx(fw 22 += Derivando em relação a x, temos: 2x + fw = 0 fw = -2x Derivando em relação a y, temos: x + 2y = 0 x = -2y Derivando em relação a w, temos: fy = 2w Agora, podemos substituir as derivadas na equação que queremos provar: 0 y w x x w y = (∂y/∂x) * (∂w/∂y) - (∂y/∂w) * (∂x/∂y) Substituindo as derivadas que encontramos anteriormente, temos: 0 y w x x w y = (-2) * (2w) - (1) * (-2) Simplificando, temos: 0 y w x x w y = -4w + 2 Agora, derivando em relação a x, temos: ∂/∂x (0 y w x x w y) = ∂/∂x (-4w + 2) A derivada de uma constante é zero, então temos: 0 = 0 Portanto, provamos que 0 y w x x w y = (∂y/∂x) * (∂w/∂y) - (∂y/∂w) * (∂x/∂y) = 0.