6) Seja w = f(x, y) uma função diferenciável. Suponhamos que θ= cosrx e θ= senry . Mostre que 2 2 222 w r 1 r w y w x w      θ∂ ...

Para resolver essa questão, podemos utilizar a regra da cadeia para derivadas parciais. Começamos derivando w em relação a r: ∂w/∂r = ∂w/∂θ * ∂θ/∂r ∂w/∂r = (-sen(rx) * ∂w/∂x) + (cos(ry) * ∂w/∂y) Em seguida, derivamos w em relação a y: ∂w/∂y = ∂w/∂θ * ∂θ/∂y ∂w/∂y = (cos(rx) * ∂w/∂y) Por fim, derivamos w em relação a x: ∂w/∂x = ∂w/∂θ * ∂θ/∂x ∂w/∂x = (-sen(rx) * ∂w/∂x) Substituindo as derivadas parciais na equação dada, temos: 2 2 222 w r 1 r w y w x      θ∂ ∂+     ∂ ∂=    ∂ ∂+     ∂ ∂ Substituindo as derivadas parciais encontradas, temos: 2 2 222 w r 1 r w y w x      cos(rx) * ∂w/∂y - sen(rx) * ∂w/∂x ∂ ∂+     ∂ ∂=    ∂ ∂+     ∂ ∂ E assim, concluímos a resolução da questão.