4.12. Encontre o ponto do parabolóide z x y= +2 2 mais próximo do ponto (3,-6,4).

Para encontrar o ponto do parabolóide mais próximo do ponto (3,-6,4), podemos utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange. Primeiro, definimos a função distância ao quadrado entre o ponto (x, y, z) do parabolóide e o ponto (3,-6,4) como: f(x,y,z) = (x-3)² + (y+6)² + (z-4)² Em seguida, definimos a restrição do parabolóide: g(x,y,z) = z - x² - y² Agora, podemos montar o sistema de equações: ∇f = λ∇g g(x,y,z) = 0 Onde ∇f e ∇g são os gradientes de f e g, respectivamente, e λ é o multiplicador de Lagrange. Calculando os gradientes, temos: ∇f = (2(x-3), 2(y+6), 2(z-4)) ∇g = (-2x, -2y, 1) Igualando os gradientes e multiplicando pelo multiplicador de Lagrange, temos: 2(x-3) = -2λx 2(y+6) = -2λy 2(z-4) = λ Substituindo a restrição do parabolóide em g(x,y,z), temos: z - x² - y² = 0 Substituindo λ em z, temos: 2(x-3)² + 2(y+6)² + (x² + y² - 4)² = 4 Agora, podemos resolver o sistema de equações para encontrar o ponto (x, y, z) mais próximo do ponto (3,-6,4). Após algumas manipulações algébricas, encontramos: x = -1 y = -2 z = 3 Portanto, o ponto do parabolóide mais próximo do ponto (3,-6,4) é (-1,-2,3).